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摘 要：等价关系是大学数学中的重要关系, 它在大学数学学习中占重要地位. 在大学数学课程中均有涉及, 例如高等代数, 数学分析, 近世代数, 数学分析和点集拓扑等. 在大学数学中可以用等价关系的不同定义来表示高等代数中的矩阵合同与相似概念；等价无穷小在数学分析中的概念；近世代数中的配陪集、商群概念；点集拓扑的商空间及连通关系概念，本文通过不同课程学习等价关系, 用加以运用等价关系定义各学科的新概念, 并分别讨论等价关系在各门学科中的具体应用.9247
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关键词：相似; 陪集; 等价关系; 商空间
Equivalence Relation in the University Mathematics Application Analysis
Abstract：The relationship of equivalence is the important relation in the university, it occupy key role in learning mathematics in university. It is involved something In mathematics courses in university, such as advanced algebra, mathematical analysis, modern algebra, mathematical analysis and point set topology. In mathematics in university, it can use a different definition of equivalence relation matrix in higher algebra and similar concepts; Of equivalent infinitesimal in the analysis of mathematical concept; With a set of modern algebra, quotient group concept; Point set topology of quotient space and connecting relation of concept, and analyzes concrete application in the course. These concepts through different learning course equivalence relation, and apply it with equivalent relation defines the new concept of various disciplines, and discuss the application of equivalence relation in the discipline.
Key words: similarity; coset; relation of equivalence; factor space
目 录
摘 要 1
引言 2
1．等价关系的基础知识 3
1．1等价关系的基本概念 3
1. 2等价关系与集合之间的的关系 4
1. 3简单应用 6
2.等价关系在大学数学中应用 6
2. 1等价关系在高等代数中运用 6
2. 1. 1等价关系矩阵 6
2. 1. 2利用矩阵等价求矩阵的秩 9
2. 2等价关系在数学分析中应用 10
2. 3等价关系在离散数学中应用 12
2. 4等价关系在近世代数中应用 14
2. 4. 1陪集 14
2. 4. 2商群 16
2. 5等价关系在点集拓扑中应用 16
3.等价关系应用及拓展 16
4.小结 17
参考文献 18
致谢 19
等价关系在大学数学中应用
引言
回顾四年大学课本, 在数学与应用数学这一专业的基础及核心课程中, 我们容易发现, 以集合为第一章内容占了大多数, 紧接着利用集合的定义, 映射, 函数等一系列概念, 并且元素与元素之间关系是以两集合元素之间的关系为体现, 而函数和映射都是一种特殊的关系．在集合的所有关系之中, 有一种特殊的关系——等价关系出现在大学数学众多课程中. 所谓等价关系, 就是划分类别的标准, 所有等价的都可以归结为一类, 称之为等价类. 例如：高等代数中矩阵的合同、相似、等价概念, 点集拓扑中的等价关系, 数学分析中无穷小的思想, 近世代数的中集合的分类等等．
在数学研究中等价关系占有很重要的地位, 是十分值得研究的课题. 它可以对研究的客体分类, 从而对整体的研究的效果可以通过各个部分的研究以实现. 如通过认识论中的同一性原理和联系与发展的方法论, 分析了各个等价关系之间存在的联系, 集中阐述了等价关系的概念以及其教学对学生逻辑推理能力和抽象思文能力的提高的重要性. 参考文献[1], [2], [3], [4]主要是等价关系在大学数学课程中的定义, 及一些相关定理的证明, 但却缺少等价关系在大学数学中的应用的. 在参考文献[5]是杨海蓉关于在大学数学课程中等价关系的教与学的研究虽有应用方面的研究, 可是却集中在了教与学的这一方面, [6], [7], [8], [9], [10]虽有谈及在某门学科的某一小方面的应用, 却没有把等价关系在该门学科中的重点应用概括出来, 例如吴国兵的离散数学中等价关系, 王志龙的等价关系与等价关系矩阵. 刘均梅的等价关系在陪集教学中的应用探讨, 都是在某门大学课程的某些方面讨论的.