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摘 要: 孤子方程的研究已经成为非线性科学领域中极具发展潜力的课题之一. 孤子方程的解可以通过许多方法得到. 其中, Hirota方法在众多方法中是比较重要和直接的,它主要是把非线性方程转化成双线性方程,然后通过摄动法找到孤子方程的精确解.9248
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本文考虑的是一个重要的孤子方程:(2+1)-文修正BKK方程,运用Hirota方法将它化为双线性方程, 从而得到单孤子解、双孤子解以及n孤子解.
关键词: Hirota方法; (2+1)-文修正Broer-Kaup-Kupershmidt孤子方程;
n-孤子解
The Application of Hirota in several Partial differential Equations
Abstract: The soliton equation is one of the most prominent subject in the fields of nonliear science．In this paper, we consider a modified Broer-Kaup-Kupershmidt equation．there are sevral systematicapproehes to obtain solutions of soliton equation．The Hirota’S direct method has been proved to be one of the most important method in soliton theory．
In the paper，the modified Broer-Kaup- Kupershmidt equation are transformed into a bflinear differential equation，Some exact solutions for the eqations are obtained by Hirota method．
Key words: Hirota method; (2+1)-dimension modified Broer-Kaup-Kupershmidt soliton equations; N-soliton solution
目 录
摘 要 1
Abstract 1
引言 2
1.(1+1)文修正Broer-Kaup-Kupershmidt方程的双线性化 4
2.(2+1)文修正Broer-Kaup-Kupershmidt方程的双线性化 6
3.(2+1)文修正Broer-Kaup-Kupershmidt方程的精确解 8
4. 总结 13
参考文献 14
致谢 15
Hirota方法在几个偏微分方程中的应用引言
随着科学的发展,非线性现象在客观世界中开始占据统治地位, 因而人们将极大的热情投入非线性研究. 人们在非线性科学的研究中提出了孤子概念, 一般来说, 任何空间中传播的扰动, 都可以称为波. 其中, 在传播中不改变形状, 大小和方向的波称为孤波. 两个孤波经过相互作用仍不改变形状, 大小和方向, 称为孤立子(简称孤波). 孤立波具有非常奇特的性质, 它们在相互作用时保持稳定的波形, 这类似于粒子的性质, 即它同时具有粒子和波的许多性质, 它反映了非线性科学中一类较为稳定的现象. 孤立子理论的兴起, 为求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了新的内容. 孤子理论已经成为研究非线性方程的主要手段之一.
孤立子理论是涉及多门学科, 多个领域的研究. 研究手段和方法在数学上涉及经典分析和泛函分析、微分方程和动力系统、Lie群、Lie代数和无穷文代数, 微分几何、拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支.数十年来, 孤立子理论一直受到国际上数学界和物理学界的充分重视, 研究工作十分活跃, 每年都有大量的科研论文在专业期刊以及相关方面的专著上出版.孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分, 许多领域如流体力学等离子体物理非线性光学, 聚态物理, 超导物理， 经典场论和量子场论等都包含着和孤立子理论密切相关的问题， 已经利用孤立子理论成功的解释了物理上长期用经典理论未能得到解答的现象. 早在1834年，英国著名科学家Russell观察并记录了孤立波现象[1,2], 他认为这种孤立波是流体运动的一个稳定解, 并称之为“孤立波”． Russell当时未能成功地证明并使物理学家信服他的论断. 直到1895年, 荷兰著名数学家Korteweg和他的学生Vries研究了浅水波运动, 得到了著名的Kdv方程, 从而在理论上证实了孤立波的存在性[3]. 1965年美国著名科学家Zabusky和Kruskal通过数值模拟Kdv方程详细地考察和分析了等离子体中孤立波非线性相互作用后不改变波形和波速的论断．由于这种孤立波具有类似粒子碰撞后不变的性质,他们命名这种孤立波为孤立子[4]. 孤立子的数学理论在研究孤立子问题过程中应运而生, 并初步形成了比较完整的理论体系. 近年来有许多求解孤子方程的方法, 例如反散射方法, 达布变换法, 贝克隆(Backlund)变换, 代数几何法, 双线性(Hirota)方法[5-14].这些方法既相互联, 也各有自己的特色. 其中, Hirota方法相对反射方法而言是一种重要而直接的方法, 因而被称为直接方法, 它是一种代数而不是解析的方法是这种方法的一个优点.相关的变量变换是这种方法的关键, 它把非线性方程转化成了双线性方程, 之后再通过摄动法找到方程的精确解. 关于(1+1)文孤立子方程的研究已有很成熟的理论和方法. 但对于高文的孤子方程研究比较少, 80年代后, 高文空间问题逐渐开始吸引人们的注意力.