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摘要:三角函数有理式积分在积分的计算中占有很重要的地位,且计算较为复杂,灵活性很大,是不定积分中较难掌握的一种形式.本论文主要通过恒等变形法、裂项法、万能代换法、整角代换、组合积分法对三角函数有理式积分的求法进行了一些探讨.10301
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关键词:三角函数有理式; 不定积分; 解法
Integral Solution of Trigonometric Functions of Rational Expression
Abstract: Trigonometric function of rational expression of integral in the integral calculation plays an important role, and the calculation is relatively complex, flexibility is very big, is one of the more difficult to master in the indefinite integral form. This article mainly through the identical deformation method, crack method, universal substitution method, the whole Angle of substitution, combined integral method of trigonometric functions discussed some rational expression of integral of religion.
Key words: Trigonometric function rational expression; Indefinite integral;
目 录
摘要 1
引言 2
1 三角函数有理式积分的形式 3
2 三角函数有理式积分的一般解法 3
2.1 恒等变形法 3
2.2 换元法 4
3 万能公式法 7
4 裂项法 8
5 整角代换 9
6 组合积分法 10
7 结束语 14
参考文献 15
致谢 16
三角函数有理式积分的解法探讨
引言
三角函数有理式不定积分的计算是数学分析中常见的题型，也是不定积分的核心与难点，其在实际生活、工程设计中的应用也很广泛.三角函数有理式不定积分的计算极大地激发了学生学习数学分析的兴趣,培养了学生的数学计算能力,因此探究三角函数有理式不定积分的解法就显得尤为重要.所以,我们应该根据被积函数的特点选择较为方便的解法进行积分以简化运算.
很多文献都对三角函数有理式积分的解法进行了探讨.如文献[1][2]给出了求三角函数有理式积分的一般解法,如恒等变形法、换元法,并给出了一些例题；文献[3]用万能代换法求三角函数有理式积分,并相应给出了例题；文献[4]给出了用裂项法求某些三角函数有理式积分并给出了例题进行分析；文献[5]给出了用整角代换求某些三角函数有理式积分并给出了例题进行分析；文献[6]给出了用组合积分法求三角函数有理式积分并结合具体例题进行分析；文献[7][8][9][10]也都给出了三角函数有理式积分的几种解法并结合具体例题分析了这些解法.
在前人研究的基础上,本人通过阅读大量的参考文献,搜集了大量的习题,通过认真演算,并对这些三角函数有理式积分的求解方法进行系统的归纳、总结、探讨.由于本文的主要内容是寻求解法,所以,本文是以大量的理论知识结合例题进行讲解说明的,具有一定的理论意义和实践价值.本文的创新点是:在用组合积分法求三角函数有理式积分上在前人研究的基础下做了推广．
1 三角函数有理式积分的形式
所谓三角函数有理式 ，是指由三角函数和常数经过有限次四则运算后所构成的函数表达式 .三角函数有理式的积分，即 的积分.
例如： ， ， 等.
2 三角函数有理式积分的一般解法
2.1 恒等变形法
恒等变形法 是根据基本积分公式利用不定积分的基本运算法则或通过简单的代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法.
由于三角函数有许多特有的性质,如各种三角函数之间有一些公式相互联系，