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在本章中，我们研究一种基于文献[24][25]的贝叶斯方法自适应波束形成器。在这种方法中，我们将导向矢量看成是一个标示了导向矢量不确定性水平的复高斯随机向量。与文献[27]中的贝叶斯波束形成不同，该方法是时间递归贝叶斯波束成形器，它可以利用当前时间之前所有的观测数据，并且可以估计接近最佳性能时导向矢量的递归性。
4.2贝叶斯波束形成的信号模型
考虑一个N元素的数组。假设接收窄带信号，阵列在快拍κ上的输出由下式给出
（4.1）
其中 是目的导向矢量， 是已知能量 的所需信号。 和 分别是已知协方差矩阵 的干扰和噪声成分。 ， 和 可以看成是零均值的复高斯随机过程，并且他们在广义上是固定和相互独立的，他们的连续快拍上也是统计独立的。
在实际情况中，真实的导向矢量往往因为各种原因偏离其推定值。这里我们假定 有一个均值为 且协方差矩阵为 的复高斯后验概率密度函数
（4.2）
阵列的输出信号在 倍样本的短时积分窗口内处理。在每个短时积分长度内，收到的样本是 ，其中 是短时积分长度的指数。我们的目的是设计一个自适应波束形成器来估计目的信号 的信号矢量。
4.3最小均方误差估计与贝叶斯波束形成的推导
在本段中，我们用递归贝叶斯方法估计期望信号矢量 ，使用的优化准则是最小均方误差准则。当给出收到的信号样本 时，信号矢量的最小均方误差估计是由 给定的 的条件均值给出的，它可以表示为
在 ， 和 的假设下，可以得出
每个条件均值估计都是一个最优的最小均方误差估计，例如
（4.5）
其中 是给定的 的数据协方差矩阵。可以看出，这是一个权重为 的空间文纳滤波器[24]。因此，我们可以得出
（4.6）
信号矢量的最小均方误差估计为
（4.7）
这是一个权重为
（4.8）
的波束形成器，我们把它称为贝叶斯波束形成器。结合每个导向矢量的后验概率值，可以得出，贝叶斯波束形成器是具有不同导向矢量的空间文纳滤波器的加权平均。
4.4贝叶斯波束形成的递归实现
在本节中，我们计算贝叶斯波束形成器的权重。根据贝叶斯准则，后验概率密度函数可以由下式给出
（4.9）
其中 是正规化的概率。假设我们有后验概率密度函数 ，它是一个均值为 且协方差矩阵为 的复高斯分布
（4.10）
似然函数 可以由文献[24]给出
行列式 有以下形式
使用矩阵求逆定理扩大 ，我们可以得到
所以似然函数可以写为
（4.14）
其中 ， ， 。根据文献[25]的推导，式子（4.14）可以改写为
（4.15）
其中 是理想的导向矢量，它可以由 近似而来。但是计算这种可能的概率密度函数的困难很大。为了简化推导，我们假设估计的导向矢量到干扰子空间的投影较小，或大致相当，这时，干扰都位于远离使用导向矢量 的波束形成的主瓣的位置。因此，二次函数 可以由常量 [24][25][27]近似而来。利用这些近似，似然函数可以近似为
其中 ， 是一个归一化因子，它保证了功能能够合一。将式子（4.10）和（4.16）代入（4.9），后验概率密度函数 可以由下式给出