对称性的自发破缺(2)

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一、对称

（一）、对称性的定义

1、数学定义

关于对称性的数学理论称为群论。将对某一客体的一系列变换操作作为一个集合。集合中的元素的乘积仍然是这个集合中的元素，则我们说这个集合构成关于这一客体的一个群。例如对于正方形，绕中心轴旋转90度、180度，270度，及360度均为这个正方形的对称性操作，它们构成一个群。任意两个群元的乘积为两次连续的对称性操作，仍然为群中的某个操作。

2、物理定义

物理学中，我们将对称性分为两种，第一种称为规范对称性（局部对称性），另一种称为整体对称性。如果一个理论的拉格朗日量或运动方程在对参量的某种变换下保持形式不变，，则我们称这个理论具有相应的对称性。进一步，若这些变换依赖于时空坐标，则这个不变性被称为局域对称性，反之则被称为整体对称性。

（二）、对称性的例子

1、旋转对称

旋转对称是指一个图形在平面内绕一个固定点转动某一个角度，旋转后的图形与原图形重合。如图一所示，雪花在我们肉眼下是看不出它的结构的，不过通过放大镜我们可以看到大多数雪花是属于六方晶系，其具有六度旋转不变性。

雪花

2、轴对称

在自然界中，很多动植物都是轴对称的，轴对称的物体给予我们的美感是不言而喻的，如图二所示的树叶和海鸥都具有轴对称性，它们沿某一条直线，其左右两部分可以完全重合，该条直线称为对称轴。

树叶和海鸥

3、中心对称

中心对称是指图形绕平面或者空间中的某一个特定点旋转180度后，变化后的图形与原图形重合。如图三所示的两个漂亮图形按照中心点旋转180度都可以与原图形重合。

4、对称性与守恒量、守恒定律

物理学中，除了上述所述的一些比较简洁、直观的对称性之外，还有一些对称性具有较为深刻的意义。人们把系统从一种状态变化到后另一种状态称为一种变换。假如该系统通过某种变换后其前后的状态不变，我们称该系统对于这种变换具有对称性。这里所说的系统不仅仅指某一个具体的物理或者物理量，还可以是某一物理定律，因此对称性就是某一物体、物理量或物理定律在某一种变换下的不变性。其中有三种对称性我们是最熟悉的：第一种是空间平移对称性，指一个物理系统沿空间某个方向平移任意大小的一个距离后，它的物理规律不变，空间平移对称性对应动量以及动量守恒；第二种是时间平移对称性，指物理系统随着时间的推移，它的物理规律不变，时间平移对称性对应能量以及能量守恒；第三种是空间旋转对称性，指物理系统沿空间某个方向旋转任意角度后，它的物理定律不变，空间旋转对称性对应角动量以及角动量守恒。