2 静电场的电势法
2.1静电势及其满足的方程
静电场的标势是一个很重要的概念,静电问题常常都是通过标势来求解的。在静电的情况下电势与电场的关系为
,
若研究空间的电场分布与激发电场的源之间的局域关系,需要借助微分形式的场方程。在均匀、各向同性线性介质中,有
此即泊松方程。若在所研究的区域内没有自由电荷体密度,则泊松方程就变成拉普拉斯方程, 。
2.2 静电势的求解方法
静电势的求解方法我们可以分为两个部分,第一个是电势叠加原理法,即特解法;第二个是求解电势的边值问题法[1]。
(Ⅰ)下面我们来先看看电势叠加原理法。为了计算给定电荷分布所激发的电势,从点电荷Q所激发的电场出发,其强度为
(1)
其中, 是源点与场点之间的距离。由于电场具有叠加性,多个点电荷所激发的电势 就等于每个电荷激发电势的代数和。假设有一组点电荷 与场点P的距离是 ,则所激发的电势之和为
(2)
对于电荷连续分布情况,设电荷密度是 ,源点 与场点 之间的距离为 ,则场点 处的电势为
值得指出,(2)式及(3)式均隐含着电荷分布在有限区域,即已选无限远为零电势参考点 的条件。当电荷分布在无限区域,若用(3)式进行计算则结果会发散。关于电势零点的选择,讨论如下:
在点电荷的场中,不能选取点电荷所在处 参考。同理,线电荷也不能选取线电荷所在处 参考。
在均匀电场中,不能选取无限远处 参考,否则各处 ,失去意义。
若电场满足形式 ,则可取 参考。因为 ,只当 时结果才为有限。可见,均匀电场E=常量;均匀带电长直(或圆柱), ;……;均不可取 参考。