1. 傅里叶变换
1.1 一文傅里叶变换式
设 为一文周期函数,则其可以展开为下述形式:
(1)
其中k为空间频率,A(k)、B(k)由下式给出:
(2),(3)式代入(1)式得: (4)
由于,
中括号里为偶函数,改变外边积分范围得:
与(7)式相加,再运用欧拉公式得:
叫做 的傅里叶变换式则:(11)
在无线电通讯理论中,一文傅里叶变换把一个时间域中的信号变换成频率域中的信号[7];在光学信息中,高亮度高强度的激光束通过衍射孔径,其夫琅和费衍射像是孔径的二文傅里叶变换,这个结论与通讯理论相似,通讯理论中的许多概念与方法可以移植到光学中来。
1.2 二文傅里叶变换式
设 是定义在 平面的空间函数,它的傅里叶变换存在,并用空间频率平面的二文函数 表示,将傅里叶变换式由一文推广到二文得:
其中, 和 分别表示沿坐标轴方向的空间角频率。
在近代光学中常把 称作函数的空域形式,把它的傅里叶变换谱 称函数的频域形式,它代表了函数 的空间频谱。
2. 用傅里叶变换计算衍射的光强分布
夫琅和费衍射积分公式[8]:
(14)
其中, 为孔径平面坐标, 为观察平面坐标。
指数因子(15)
若取空间频率如下:16)
则(15)式可表示为(17)
在波动光中,它代表一个空间频率为 的二文平面波,而在傅里叶分析中,它正是傅里叶变换核。
将(17)式代入(14)式,得
(18)
上式中的积分正是 的二文傅里叶变换,如果设:
夫琅和费衍射图形的光强分布则可以表示为:
(22)
式(18)表明,夫琅和费衍射场的复振幅分布 是孔径面上光场的复振幅分布 的傅里叶变换,也就表示透过孔径的波场 被分解为具有不同空间频率 的基元函数 的线性叠加,即夫琅和费衍射的复振幅分布是孔径面上的复振幅分布 的傅里叶频谱。
2.1 单缝的夫琅和费衍射
为计算简便,假设衍射物体为不透明屏 上一条方向平行于 轴,长度不限,宽度为 的狭缝。用平行光正入射照明,在透镜L后的焦平面上观察。若不考虑透镜孔径的大小的情况下,可以认为光波在 方向上不受限制,所以上述单缝衍射实际上可看做一文问题,只需计算沿x方向的衍射。
设衍射物体的复振幅透射系数
(23)
由于照明光波复振幅 ,所以透过衍射物体的复振幅为:
(24)
将复振幅分布 代入式(14)的夫琅和费衍射公式,得出(x,y)平面的复振幅分布为:
(25)
上式推导中应用了上式同样表明,夫琅和费衍射是沿着光波所受限制的方向。
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