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（2）
我们将式中的R称为热阻，℃/W。
考虑两个侧表面良好绝热的金属柱体相接触，我们可以发现，在接触面的两侧产生了温度的跃变，如图1.1所示。这是由于端面不是绝对平而有微观不平度,所以实际能接触仅仅是部分离散的点和微小的面积，其周围则是充满空气或其它介质的微观间隙。这些介质导热率一般均小于金属导热率，使得热流在接触点两侧先收缩后扩张，而在非接触区先扩张，通过介质后再收缩[2]，如图1.2所示。故而在接触的界面上导热性能发生急剧下降，产生温度的突变。我们将接触界面两侧的温度差Δt与流经接触面的平均热流密度q之比，定义为接触热阻rc[3]。
1．2 工程背景与发展历史
接触热阻最早是在1941年由前苏联科学家卡皮查(Kapitza)在测量固体和液氦的界面温差时发现的[4]。之后，随着低温工程、航空航天、核能利用等科技领域的不断发展，接触热阻对于导热性能的影响越发凸显，尤其是随着微电子技术的迅速发展，电子元器件集成化几何式的增长，单位面积发热量严重影响了元器件的性能与可靠性，散热成为了该领域发展的瓶颈。接触热阻主要应用领域与发展历史可参考图1.3.因此，对于接触热阻的研究有着重要的意义。
在1963到1970年间，关于接触热阻研究的几个不同方向得到发展。例如由平坦粗糙表面所形成间隙的接触热阻的数学模型、光滑不平坦接触表面形成的接触热阻的模型、粗糙不平坦接触表面形成的接触热阻的模型、关于热流收缩的模型等被建立起来，测量焊接处接触热阻的方法也被提出了。
1970到1980年间的研究围绕着多项分析与数值研究展开。进行了关于热流收缩与扩张的实验研究，建立并通过实验验证了弹塑性形变和存在弹性缺口的热阻模型，测量了金属薄片对于接触热阻的影响，并得到了最佳薄片厚度的关系式。
在1980到1990年这十年里，与接触热阻相关的多个方面的研究有了较大的进展。例如由于加工硬化而导致微硬度变化的实验；氧化层和薄金属层对于接触热阻的影响实验和分析；螺栓接缝的模型的建立等等。这一时期，对接触热阻的研究工作，大部分是指向微电子和核能领域的。
在1990到2004年间，接触热阻的研究集中在：单一和多热源情况下热流的收缩与扩散；对于几种金属的粗糙平坦表面的弹性、塑性和弹塑性接触模型；关于氦气、氮气和氩气气氛中热调和系数影响的实验；力学接触和收缩热阻模型；基板上粘有光滑半球层的间隙实验；微电子与卫星上螺栓间隙的模型与实验；低负载时，表面粗糙断面对于层状基板的有效导热系数的影响规律，和其它一些相关主题。
更为详细的研究进展可以参考文献[5][6][7]。
接触热阻的研究主要由三个方面组成，分别是形貌问题、力学问题和热学问题。其中，形貌问题和力学问题的交叉，形成接触力学；形貌问题和热学问题的交叉，形成收缩热阻；热学问题和力学问题的交叉，形成热弹性力学。而这三者的交集就构成了接触界面热阻。如图1-4。为了解决界面热阻的问题，力学接触的问题必须被解决。有三种类型的力学接触的问题与解决方案：1）纯弹性接触，2）纯塑性接触，3）更复杂的弹塑性接触。
下面简述下CMY模型的基本假定。CMY模型假设接触表面上微小的凸峰是随机分布，并且凸峰高度符合高斯分布，以此完成了对表面接触情况的数学描述。CMY模型使用赫兹接触力学的相应理论形成了自己的力学模型。同时，CMY模型把实际相互接触的微小凸峰近似为圆盘接触，由此建立了相应的热模型。表面形貌模型和力学模型结合起来，可以得到热模型中计算总接触热阻所需的几何参数：微接触半径a，接触点密度n，相对接触面积Ar/Aa，热流通道相对接触半径ε。将表面形貌模型、力学模型与热模型结合起来就形成了完整的CMY模型。