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随着人们对客观世界的认识和了解，人们对于混杂系统的认识越来越深入。在工程和经济领域中存在着大量的混杂系统，如交通控制[13]、神经网络、保密通讯、智能控制、制造系统、电力系统、机器人系统、生化系统、网络控制系统、商品生产和库存、销售管理系统、监督控制系统、温度调节控制系统、化工批处理过程系统等。这些系统在运行过程中，常常受到很多因素的干扰，比如外部环境的改变、系统参数的变化、子系统之间的关联方式的改变、人为干预等等。这些因素使原有的系统的复杂程度大大的提升了，用我们原有的离散动态理论或者连续动态理论都不能很好的描述其过程，所以，我们需要运用切换系统的概念来研究这一类系统。67185
现在，对于混杂系统的研究，其内容非常的丰富，主要有以下几种：混杂系统的控制和优化；混杂系统的仿真；混杂系统的应用研究等。目前混杂系统的稳定性和镇定[14-17]、能控性和能观性[18-19]、鲁棒控制[20-21]等方面已取得不少的成果。
在工程实践中，切换系统的应用越来越广泛。但是由于实际环境以及参数的变化，往往需要采用大量的子系统来描述其过程，根据实际的情况来选择适合的子系统才能获得较好的效果，减少外界对系统的影响。如Sadati[11]等对于机械臂的控制问题，提出了一种多模型自适应控制的方法，对于不同的环境，选择最合适的模型，提高了系统的鲁棒性，减少了系统的振荡。Westervel[12]等对于双足步行机器人的控制问题，针对不同情况设计了多个控制器进行切换控制，保证机器人以不同速率行走以及行走速率改变时的稳定性等。论文网
到现在为止，我们对于切换系统的优化与控制已经获得了一定的成果。对一个子系统而言，运用常规的方法，我们能够在保证其稳定的基础上实现它的最优控制，但考虑到切换系统的特殊性，即使所有的子系统都是稳定的，整个系统也不一定能够稳定，所以寻找一个能够使整个系统稳定的切换法则才是最重要的。切换序列中包括了切换总次数、切换次序、切换时刻这3种不同类型却又相互关联、相互影响的变量，要实现3者的同步优化是很困难的，目前已有的方法都没能很好解决这一问题。本文针对这一优化控制问题，通过把切换次序转换成系统的离散输入，基于停留时间方法，在保证整个切换系统稳定的同时，将切换总次数和切换时刻这两类变量转化为以停留时间为变量的函数，从而减少了代价函数中变量的种类与数量，降低了计算的复杂性。通过上述方法，我们可以得到一个新的代数函数来描述切换系统，并选择适当的方法来解这个函数，从而来实现对整个系统的最优控制。
上世纪六十年代，美国学者Witsenhausen针对由数字电路单元和模拟电路单元构成的混杂系统进行了研究，提出了“混杂”的概念，并且对整个系统的结构已经最优控制做了一定的研究。Xu[6]等人通过对切换次序以及切换次数的研究，提出了基于梯度投影算法和切换时刻参数化的2阶段优化算法。Egerstedt[7]等人采用梯度下降算法，对切换次序已经固定的系统进行研究，并且在其中任意的位置添加新的子系统。Seatzu[8]等人通过对分段仿射切换系统的研究，提出了主从优化法与基于动态规划与状态反馈的切换表法。Riedinger[9]等人运用庞特里亚金极大值原理，对二次型函数下的切换系统的最优控制进行了研究。Bengea[10]等人研究了仅含两个子系统的切换系统，对切换次序、切换时刻、切换次数均可变的切换系统的最优控制进行了详细的研究，并把切换系统拓展成了嵌入式系统，并对其进行了最优控制的研究。Das等在针对一类线性切换系统，提出了一种基于嵌入式系统和庞特里亚金极大值原理的优化方法，但其并没有解决文献所存在问题。