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图2-2 H∞标准控制
这 价 号 ，在这种情况下从 到 的相 环传递函数函可表示为
。
为广 象，代表从 、 到 、 的闭 数阵。本文考虑的干 制器 使得闭 持稳定，并且
。
定义2.3 Linear Matrix Inequality (LMI): 若 是实变量， 是已知的实数矩阵，则
(2.1)
被称为一个LMI(线性矩阵不等式)， 称为决策向量， 此时矩阵P<0代表P是负定矩阵。
当我们将变量通过矩阵形式给出时，在我们的控制系统研究中经常出现的李雅谱诺夫不等式就是一个典型的LMI。如
（2.2）
其中 表示的是已知的参数常数矩阵并且 是对称的，而 代表的是需要求出的变量矩阵。若令 为 空间中的一组基，那么对对称矩阵 ，有 ，成立 。
故
在这种情况下，李雅普诺夫矩阵不等式可以表示为LMI的形式。
引理2.1[10] 是一个凸集。
2.2 LMI转换方法
下面我们给出具体的LMI转换方法。
(1)多LMI： ，…， 称为LMI系统。我们定义 ，显然当 等价于 ，…， 。
（2）在解非线性不等式时，需要利用Schur补性质将其转化为相应的LMI。如果考虑矩阵 ，将 分块为如下的形式： 。这里 是 文矩阵。如果 是可逆矩阵， 是 在 中 补。
引理 2.2 考 阵 ，其中 是 文的。下面 的：
（i） ；
（ii） ， ；
（iii） ， 。
需 是，在我们研究一般控制系统的问题时经常会出现如下形式
的非线性矩阵不等式方程
这里 是已知阵， 是对称的未知矩阵，（2.4）的求解可以经过如下的定理转为相应LMI
<0
的求解。
引理2.3[10] 如果 ， 和 是给定合适文数的矩阵， 是具有合适文数的对称矩阵，核空间 和 的基向量组成的列矩阵分别记为 和 ，则存在一个矩阵 ，使得
等价于如下条件的成立
上述定理2.3将会在下文中起到非常重要的作用。
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