（2.2）
式中 ,实测数据点坐标；
 , ，经过转换后的实测点坐标；
 ，设计数据点的坐标，定义为设计曲面上距离Pj’最近点（投影点）；
T—变换矩阵，定义为：
         （2.3）
上式中，c=cos，s=sin，T包含6个变量 ，分别为沿X轴，Y轴，Z轴的平移量和旋转量。由于实测曲面和设计曲面的初始位置相差较大，所以转换矩阵T的求取不可能一次求得，须采用分步多级匹配法来完成匹配过程。本文用五点预定位法，进行预定位；然后针对光学自由曲面精度要求很高的特点，特除了融合最小二乘法和最小条件原则的二次优化的精调整法。
   2.3  匹配过程
2.3.1  粗匹配
预定位是为了使得实测曲面与设计曲面在空间保持大致相同的位置与姿态，通过简单的操作为后续经调整做好准备工作，提高曲面精调整的精度与效率，是曲面匹配过程不可缺少的一步。
采用曲面的中心重合和近似法师重合的方法完成预定位，即首先令实测曲面的中心C’和设计曲面中心C重合，然后令实测曲面的近似法失n’和设计曲面的近似法失n重合，使实测曲面和设计曲面基本重合，如图2.2所示，其中近似法失定义如下：
图2.2 近似法失重合
但是，当实测曲面和设计曲面绕近似法失有转角时，近似法失重合的不能实现准确的预定位。
针对这种情况，进一步提出了五点预定位法，即在曲面中心和近似法失重合的基础上，以过中心点C(C’)的矢量n（n’）为旋转轴，令实测曲面绕n（n’）的转角 在0到360度的范围内做优化，优化的目标函数是实测曲面的五个特征点到设计曲面的五个特征点距离平方和 ，令 最小即可达到实测曲面和设计曲面的预定位。
2.3.2  精匹配
基于最小二乘原理的精调整方法，即令被测曲面的所有点到设计曲面的距离平方和作为目标函数（使其最小），来调整侧曲面的位置和姿态，精度不能达到很高。
按照最小条件原则进行匹配，即计算每个实测数据点到设计曲面的距离，取其中的最大值作为目标函数（通过调整被测曲面的位置和姿态使目标函数最小），精度较高。
上述两种精匹配的目标函数不同，导致优化时搜索的方向不同；另外，由于非线性优化对初始位置很敏感，所以如果初值不恰当并且只运用以上其中一种方法，会使优化陷入局部最小，往往满足不了光学自由曲面的高匹配精度要求。

2.4  光学自由曲面匹配的现有算法
     目前光学自由曲面测量匹配的经验算法很多，比较普遍的算法有，自由曲面的等距算法[8], CAD自由曲面模型匹配[9],点集曲面投影的算法[10]，基因遗传算法[11]等等。
2.4.1  自由曲面匹配的等距算法
自由曲面等距算法所解决的问题是，由于缺乏综合应用NURBS曲线，曲面配套技术的能力而不得不分片Bezier曲面。为了解决这个问题，找到了一种基于B样条形式表达的等距逼近曲线，面的算法，从而大大提高了自由曲面在数控加工中的计算速度和形状精度。首先进行将NURBS曲线，曲面各阶导失计算转化为对B样条曲面，曲面各阶导失计算，因为NURBS用有理分式表达，不能直接应用求导失的德布尔算法。根据B样条曲面导失，可求得NURBS曲面的各阶导失。完成NURBS曲面的导失计算后，便可计算NURBS曲线上个点的曲率。便可推得NURBS曲面主曲率的计算模型。自由曲线，曲面的等距曲线，曲面上的点及其各种特性有上述步骤得到。这样要得到B样条形式，就只能在一定的精度下，通过采样，插值来重构。有等距曲线 的一，二阶导失的求解和等距曲面 的各阶导失求解来得到NURBS曲线，曲面各阶导失的简化计算方法。 评定光学自由曲面面形误差的匹配方法研究(3):http://www.751com.cn/wuli/lunwen_7105.html