NURBS曲面 的表达式为
为了建立该模型的基础是求解NUBRS曲面的法矢量和导失，因此导失计算式NURBS曲，曲面的最基本配套算法。
若分别以 ， 表示两个B样条曲线，则对 的一阶导失的求解，在某种程度上可转化为对B样条曲线一阶导失计算： （2.6）
高阶导失为   （2.7）
式中 与 的i阶导数可运用B样条曲线求导失的得布尔算法。
根据B样条曲线的导失，可求得NURBS曲面的各阶导失。令
分别表示两个B样条曲面，则 的一阶偏导失可表示为
         （2.10）
 表示对u或v求导。其二阶偏导矢为
完成NURBS曲面的导矢计算后，便可以计算NURBS曲线上个点的曲率。有参数曲线的几本理论可知，参数曲线上一任意点处的曲率为
                             (2.14)
由NURBS曲线的曲率，便可推得NURBS曲面住曲率的计算模型。曲面的曲率概念是由曲面上曲线的曲率引入的。曲面上某一点，所有法截线曲率k的最大值与最小值成为主曲率。
自由曲线，曲面的等距曲线，曲线上的点及其各种特想可有上述计算方法得到，但如果将等距曲线，曲面表达为B样条形式，则只能在一定的精度下，通过采样，插值来重构。
 
图2.3 差值平面与曲面误差示意图
等间距测量法，虽然是简单易行的方法。但是为了测量精度就必须缩小测量间距。这就使得测量效率显著降低并增加了后续的误差评定等工作的难度。

2.4.2  CAD自由曲面模型匹配法
对于CAD自由曲面模型匹配中，根据被测物CAD模型是否预先知道，可以将自由曲面测量分为CAD模型已知的测量和CAD模型未知的测量。两者测量的目的不同，方法也就不同，已知的测量主要是为了检验和保证产品的精度要求，未知的测量是根据测量所获得零件表面的测点数据来实现曲面重建以便利用CAD/CAM技术进行逆向工程。对于已知的CAD模型的自由曲面的测量，其关键问题是如何高效，可靠，安全地获取待测曲面的集合形状信息，并对其形状误差做出准确的评定。对自由曲面进行测量时，一种理想的方法就是使测点的分布的疏密随曲面曲率变化而变化，曲率越大，测点应越密，反而则越疏，从而较好地反映待测曲面的集合形状信息，实现测点的自适应分布。
图2.4 曲面形状示意图   图2.5 迭代过程示意图
再用Voronoi图方法对图形产生优化路径，从而避开各个测量障碍区，同时避免不必要的空行程。任何一种方法都有其缺陷Voronoi图法数据结构复杂，编程困难，占用计算机内存大。对自由曲面CAD模型未知的测量应主要考虑如何根据已测点如何根据已知点的信息来对自由曲面测量做出预测和策划，解决侧头对北侧曲面的运动跟随问题，使测头运动能够密切跟随曲面形状的变化，使得测量实现起来可行，安全，高效，同时也要尽量使测点分布的疏密与曲面的弯曲程度保持一致，并使测点数据便于后续的曲面重构或其他处理。
2.4.3  基于点集曲面投影算法
基于点集曲面投影的算法，测量数据的精确定位是实现复杂曲面加工检测的关键，针对测量点云数据与NURBS表示的CAD自由曲面模型匹配中求最近点计算方面存在的问题，提出了一种简单，有效的寻找最近点的方法。该方法与有测量点集评估给定曲面上的最近点的传统算法相反，采用点集曲面投影算法，对给定自由曲面模型上有限个点与不附加任何几何和拓扑信息的散乱点集之间进行粗匹配获得初始位置，进而以最近点迭代算法完成测量数据定位的精确调整，达到全局及局部最优的目标。类似于基因遗传算法。最小距离迭代最近点的算法的核心是采用纯牛顿最小优化方法计算点到参数曲面的最小距离。但是由于最小迭代法的局限性，YingLiangMa和Hewitt提出了投影算法。该方法的基本思想是从NURBS曲面模型上采样若干个点，采用点集曲面投影法，在测量数据点晕上寻找最近点。该方法同时还解决了全局匹配问题，可以为二次迭代提供较好的初始位置。经过二次迭代算法匹配，可实现自由曲面的精确匹配。 评定光学自由曲面面形误差的匹配方法研究(4):http://www.751com.cn/wuli/lunwen_7105.html