左右车轮的行驶速度    

 
车体的行驶速度（X轴正向为正方向）    

3.2.2  两轮自平衡智能车的运动学模型
在两轮自平衡智能车的运动学模型中，左轮角速度为 ，速度为 ；右轮角速度为 ，速度为 ；车体行驶速度为 ，沿X轴的速度分量为 ，沿Z轴的速度分量为 ，车体绕Y轴的转向偏角为 ， 为车体绕Y轴的平均转动角速度。在很短的时间 内，车体的运动方向和速度可以近似认为不变[26]。由几何关系可以分析出如下结论：
两轮自平衡智能车的运动学方程可由以下方程描述：
                    （3.14）
其中， ， 。
将式（3.10）和式（3.11）代入式（3.14）中，得到：
  （3.15）
3.2.3  两轮自平衡智能车的运动轨迹的讨论
通常来说，车模的运动轨迹可以分解成直线运动和圆弧运动，下面对这两种运动轨迹进行讨论。
（1）直线运动
当 ，即左右轮的速度大小相等且方向相同时车模的运动为直线运动，此时运动学方程为：
                    （3.16）
即此时：
（2）圆弧运动
当左右轮的速度差是不等于零的定值且左右两轮速度的方向相同时，车模的运动为圆弧运动。如图3.13所示，假设 ，此时：
图3.13  两轮自平衡智能车圆弧运动原理图
由式（3.17）可知，圆弧运动的半径为：
3.2.4  两轮自平衡智能车的动力学模型
建立动力学模型主要采用以下两种理论：
（1）动力学基本理论，如牛顿力学方程；
（2）拉格朗日动力学方程。
本文从牛顿力学方程出发去推导系统的动力学模型。系统数学模型的基本假设同先前推导运动学模型的假设一致。
系统受到的约束条件：
分别对系统的各个组成部分进行受力分析，根据牛顿力学第二定律，列出下列方程。
左轮沿X轴方向：
                       (3.27)
右轮沿X轴方向：
                      (3.28)
左轮绕Z轴：
                     (3.29)
右轮绕Z轴：
                     (3.30)
车体沿Y轴方向：
                     (3.31)
车体绕通过质心且平行于Z轴的轴：
        (3.32)
其中 、 为电机对左右车轮的转矩。
车体绕Y轴：    (3.33)
由 二阶求导可得：    (3.34)
由 二阶求导可得：(3.35)
由 二阶求导可得：(3.36)
由 二阶求导可得：
13个未知量： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。其中： ， 分别是左右车轮对车体沿X轴方向的作用力； ， 分别是地面对左右车轮的支持力； ， 分别是地面对左右车轮的摩擦力。当 时， ， ，在忽略 的高阶项之后，解方程组（3.19）～（3.38）可以得到系统的状态方程：
其中：3.4  智能车系统自身稳定性和能控性的matlab仿真
依据本章前几节所述的两轮自平衡智能车的系统参数设定和数学模型，对智能车系统自身的稳定性和能控性进行了matlab仿真，matlab仿真程序代码如下所示： 电磁导引车控制算法研究与设计+文献综述(8):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_4079.html