(c) 对任何  ，有
（3） 对任何  和  的任一周期点 ，有
同时，他们给出如下定义（Li-Yorke意义下的混沌）：
定义1.映射  满足以上（1）（2）（3），则称 在 上是混沌的（Chaotic）。
由于李－约克定理是针对一文系统证明的，因此，莫若托（Marotto）给出了一个对于 空间中判断李－约克意义下混沌的定理，为判断n文系统混沌提供了一个有力的工具
定义2.若  中的映射（1）的不动点  满足条件
（1）存在一个实数  ，对于  （以  为中心，r为半径的开球）中的任意一个点x ，  是可微的，并且 的所有特征值的模都大于1；
（2）存在一个 中的一个点  ，  ，对某整数  ，  在 是可微的，并且  ，使得 ，则称  是一个Snap-back repller。
  定理1.（Marotto定理）如果系统（1）具有一个Snap-back repller，则系统是在Li-Yorke意义下的混沌。
在Li-Yorke的这个定义之后，数学家们又提炼了一个现在较为公认的定义。
 定义3.   称为具有拓扑传递性（Topologically transitive）；如果对任何两个开集  ，存在  ，使
 定义4.   称为是对初值敏感依赖性的（Sensitive dependence on intial comditions），如果存在  和  ，使得  。
另外，我们也从拓扑熵（>0），李亚谱洛夫指数（>0），Smale马蹄存在分数文功率谱（连续）等角度来定义混沌。
Devaney的混沌定义
Devaney的混沌定义是另一种影响比较广的混沌的数学定义，它是从拓扑的角度出发进行定义的。
度量空间V上的映射f：V→V，如果满足下面3个条件，便称f在V上是混沌的：
（1）对初值的敏感依赖性，若存在  ，对任意的  和任意的x∈V，在x的  邻域I内存在y和自然数n，使得  ；这意着无论x和y距离有多近，在f的多次作用下两者之间的距离d都会扩大到一定地步（> ），而这样的y在x任意一个小的邻域内都存在着。对这样的f，如果用计算机计算其轨道，则任意微小的初始误差就将导致多次迭代后的计算结果与实际结果产生足够大的差异，从而导致计算失败。因此对初值的敏感性也称为不可预测性。
（2）拓扑传递性，对V上的任意开集X、Y，存在k>0，使得  ，(如果一个映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的)
拓扑传递性意着任一点的邻域在f的多次作用下将遍及度量空间V，这说明f不可分解为两个在f下互不影响的子系统。
（3）f的周期点集在V中稠密  周期点集在V中稠密意着：表明系统具有很强的确定性和规律性，决非混乱一片，形似混乱而实则有序，这正是混沌的耐人寻之处。
除上述的定义外，还有一些其他的定义，诸如Smale马蹄、横截同宿点、拓扑混合以及复合动力系统等定义。然而迄今为止，混沌一词还没有一个公认的普遍适用的数学定义，由于不使用大量的技术术语不可能定义混沌，同时还因为从事不同研究领域的人使用的混沌定义会有所不同，如正拓扑熵、正Lyapunov指数以及存在奇怪吸引子等，因而多数学者认为，给出混沌的精确定义是一件相当困难的事。尽管如此，从事不同领域研究的学者会基于各自对混沌的理解进行研究并谋求各自的应用。
2.1.2    映射
在逻辑设计中，映射是将门级的描述在用户的约束下，按照一定的算法定位到器件的单元结构中。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。 MATLAB数字图像的加密方法与应用展示(5):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_7188.html