1.2  本文的问题描述和工作安排

对于线性系统

其中系统矩阵A为 的常数矩阵，控制矩阵B为 的常数矩阵，且A、B中所有元素均为非负数，控制函数 ，系统满足初始条件： 研究其可达区域估计。

重点内容是研究在无控制项与有界控制下，系统可达区域与系统矩阵A和控制矩阵B的关系。以下是论文的主要内容：

第一章，绪论部分简要介绍了非负系统可达区域估计的历史背景和研究现状[6-7]。来~自^751论+文.网www.751com.cn/

第二章，预备知识部分介绍非负系统可达集的有关概念和成熟理论[8-10]。

第三章，在3.1中给出了自由非负线性系统 的可达集的估计及边界，并表示出系统状态x(t)的所有点；在3.2中给出控制函数u(t)有界时，非负系统 ， 的可达集的估计及边界，并表示出系统状态x(t)的所有点；在3.3节给出可达区域的凸多面体和椭圆估计；在3.4节中给出了控制函数对可达集性质的影响，证明了控制函数为凸集时可达集的凸性，说明了当控制函数为多面体时可达集也为多面体且给出了可达集的具体表达式；在3.5节中分别用两个例子讨论了连续和离散线性系统二次型最佳控制。

2  预备知识

2.1  可达性问题

2.1.1  可达集相关概念

考虑n维线性时变系统的状态方程： (1)

其中系统矩阵A为 的常数矩阵；控制矩阵B为 的常数矩阵；控制函数 为无约束的容许控制，即 的每个分量均在时间区间上平方可积t，即

由于可控性所考察的只是系统在控制函数 的控制下，状态矢量 的转移情况，而与输出 无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。

文献[11-12]中给出了线性定常系统可达集的相关概念与理论，本节定义与定理均可在该文献中找到。

定义2.1  对于式(1)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态 ， 和一个无约束的容许控制 ，使得状态由 转移到 ，则称此 是在时刻 可控的。

定义2.2  若 对所有时刻都是可达的，则称状态 为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 可达的，则称该系统是 时刻完全可达的，或简称系统是 时刻可达的。

定义2.3  动态系统在有界扰动下，从初始条件出发，能够到达的所有的状态集合即所有可达点构成的集合就是可达集。

定理1  对于连续时间线性定常系统，可控性和可达性是等价的。

定理2  对于线性时变系统，其可控性与初始时刻选取有关，而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻的选取无关。