3.2    小波变换
小波变换就是因为传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的，它是一种信号的时间-尺度（时间-频率）分析方法，多分辨率分析是它的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特性的能力，是一种窗口大小固定不变的，但它形状是可以改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。
小波变换作为一种时频局部化方法，在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，具有对信号的自适应性，所以被广泛应用于信号分析。由于小波分析具有局部分析和细化的功能，所以小波分析能揭示信号的间断点，趋势和自相似性等性质。传统的信号分析技术相比，小波分析还能在没有明显损失的情况下，对信号进行去噪和压缩。
3.2.1    小波分解与重构
小波分解进行小波的分解，对于原始信号 进行小波的分解，                    
式中， 称为第一级小波成分：
所以原始信号可以表示为：
从上面的公式中可以看出，原始信号可以用从第1级到第J级的J个分辨率的小波来表示，就实现了小波的多分辨率分析[10]。可以利用双尺度关系，尺度系数和小波系数的离散形式可以表示为：
可以将尺度函数即近似原始信号分解成低分辨率的尺度系数和小波系数，从而实现信号的多分辨率分解，如图3.2所示。
 图3.2  小波分解过程图
还可以从连续小波变换的定义可以看出，连续小波变换具有尺度a和平移 两个参数。其中尺度 在一定意义上对应于频率 ，即尺度越小，对应频率越高，尺度越大，对应频率越低。通过对信号进行连续小波变换，可以多亏信号进行时域分析，即观察信号在某一时间 上，对应某一尺度a的成分。
接着小波重构，依据平移规范正交条件，可由第j级小波系数和尺度系数导出第j-1级的尺度系数
                     (3.9)
式中， ，由这个式子对信号进行重构[11]，如图3.3所示
 
图3.3  小波多分辨率重构过程
利用小波变换多分辨率的特性，我们可以再信号的高频频段得到较好的时间域分辨率和较差的频率分辨率，而在信号的低频频段得到较好的频率域分辨率和较差的时间域分辨率，从而将时间域与频率域紧密地联系在一起。在实际应用小波变换时，小波基的选取十分重要，不同的小波基对原始信号的方式不同，恰当地选取小波基才能较好地进行多分辨率分解和重构。
3.2.2    小波降噪
列车运行过程中,称重监测系统会受到许多内在和外在因素的影响,这些影响表现在采集的数据信息中是各种干扰信号序列,可以表现为各种脉冲信号、多种频率的谐波信号及噪声的迭加。结合大量轮重检测信号数据分析可以知道,动态载荷干扰源主要有车体无阻尼自由振动模态,重载车辆振动频率为2.8到4Hz,振幅可达重量均值的10%，转向架二系承载弹簧组与检测设备相对干扰振动模态,频率较高,幅度为重量均值的3%左右，外界谐波干扰频率主要为45到60Hz,幅度为重量平均值的5%左右，附加垂向振动,例如轨道不平顺、钢轨接缝等原因引起随机干扰及其他噪声信号[12]。对于这些噪声信号会影响称重效果。
通过上面了解到在称重的过程中会存在噪声信号，噪声信号多包含在具有较高频率细节中，在对信号进行了小波分解之后，在利用门限阀值等形式对所分解的小波系数进行权重处理，然后对小信号再进行重构即可达到信号去噪的目的，具体有以下这些步骤，进行一文信号的小波分解，选择一个小波并确定分解的层次N，然后对信号s进行N层小波分解。小波分解高频系数的阈值量化，对各个分解尺度下的高频系数选择一个阀值进行软阈值量化处理。一文小波重构，根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一文小波的重构。通过以上几个步骤，选取阈值和如何进行阈值的量化是最重要的，可以这样说它直接关系到信号消噪的质量。 MATLAB列车称重监测系统设计及数据处理仿真(8):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_8211.html