式右端表示粘性项的贡献，而左端表示对流项的贡献。方程 (2.1) 称为粘性
Burgers 方程。如果粘性很小，可以将粘性忽略，则我们有下述无粘性 Burgers
方程ut + uux = 0 (2.2)
本文中我们将简称无粘性 Burgers 方程为 Burgers 方程。
Burgers 方程模式是一种重要且普遍的非线性模式，在各个应用数学领域都
有所涉及。它在湍流、传热、传质、大气、水资源污染、化工、冶金、生物、等
粒子物理、非线性光学、量子场论和通讯技术等领域有重要的作用和地位，很
多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为对 Burgers 方程的研究。现
实生活的许多领域内的数学模型也都可以用 Burgers 方程来描述，甚至很多重
要的物理、力学等学科的基本方程本身就是 Burgers 方程，利用 Burgers 方程
求解非线性偏微分方程，既简洁又容易说明间断解的特性。本课题的意义旨在
以应用为目的，以物理、力学等其他学科问题为背景对 Burgers 方程进行研究。
通常情况下，由于 Burgers 方程其本身的非线性性，不管初值有多么光滑，
解都会出现间断，这种间断通常以激波、疏散波或者接触间断波表现出来，但
是人们发现，解并不唯一，于是需要一种条件的约束，才使得解更有物理意义
而且还能保证其唯一性。这种条件约束下得到的解便是熵解。我们本课题的主
要目的就是研究 Burgers 方程的熵解问题，深入理解非（拟）线性双曲方程间
断解的概念，直观地用图形说明熵解存在的合理性。为了说明上述问题，我们
需要首先了解一些守恒律方程组方面的一些基础知识。2.2 非 (拟) 线性守恒律方程
2.2.1 基本概念与定义
具有如下形式的一个空间变量的偏微分方程组
ut + f(u)x = 0 (2.3)
称为 一文一阶拟线性守恒律方程组。
其中 u =(u1; u2; : : : ; un)T 是关于 t 和 x 的 m 文未知向量函数, 称为守恒量,
或状态变量, 如流体动力学中的质量, 动量和能量等。更准确地说，uj 是第 j 个
状态变量的密度函数。∫ x2x1
uj(t; x)dx 表示的是该状态变量 t 时刻在区间 [x1; x2]
中的总量。我们称这些状态变量是守恒的是指 ∫1
 1 uj(t; x)dx 关于 t 是不变的。
f(u) = (f1(u); : : : ; fm(u))T 称为 流函数。
守恒律方程组是由物理定律在任意两点 x1 和 x2 之间的如下积分形式
u(t; x)dx = f(u(t; x1))   f((u(t; x2)) (2.4)
得到的。(2.3)表示在区间 [x1; x2] 中的总的流体的量（如质量、动量、能量
等）的变化仅仅与两端点处的流有关，这就是守恒的基础，其中 f(u(t; x1)) 和
f((u(t; x2)) 分别表示在点 x1 和 x2 处的流入流出的量。
当 m = 1 时，(2.3) 式即为单个守恒律方程。
定义 2.2.1. 称方程组 (2.3)是双曲型的，如果下述 m 阶矩阵
有 m 个实的特征值
1(u); : : : ; m(u)
且有一个由m个线性无关的右特征向量构成的完备特征向量系fr1(u); : : : ; rm(u)g
（相应地，有一个由 m 个线性无关的左特征向量构成的完备特征向量系
fl1(u); : : : ; lm(u)g）。
如果上述 m 个实特征值互不相等，不妨设
1(u) < 2(u)


< m(u);
则称方程组 (2.3)是严格双典型的。
守恒律方程 (2.3)可以写为以下形式的一阶拟线性方程组 一阶非线性偏微分方程Burgers方程的熵解问题研究(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_4925.html