式中 是轴向坐标, 是径向坐标, 是药形罩原来的半径,以及 为单元从 点运动到 点的距离,由下式给出:
(2.14)
对所有的 ,方程(2.12)、(2.13)表示了在任意时刻的药形罩外形。
为了计算碰撞角 ,需要压垮外形的斜率,可由下式估算:
进行求导,得到: (2.15)
式中 ,一撇为关于 的微分,量 可用方程(2.14)的微分求得。现在为了求解 角,必须评估每个单元撞击轴线时的这个斜率。记碰撞时间为 ,药形罩单元到达轴线时所运行的距离可通过设方程(2.13)中的 来求得。
(2.16)
联立方程(2.16)和(2.14),可以解出碰撞时间 为:
式中导数 在方程(2.17)给出的适当碰撞时刻求值。
2.2.2 射流的形成
如图2.2.3所示, 为罩壁初始位置, 为半锥角。当爆轰波到达微元 点时, 点开始运动,速度为 (称为压合速度),方向与罩表面法线成 角(称为变形角)。 点到达轴线时,爆轰波到达 点, 段运动到了 位置, 与轴线的夹角 称为压合角或压跨角。我们设:
(1)爆轰波到达罩面后,微元立即达到压合速度 ,并以不变的大小和方向运动;
(2)罩各微元速度 及变形角 相等;
(3)变形过程中罩长度不变,即 ;
(4)罩金属当作理想不可压缩流体;
(5)爆轰波扫过罩壁的速度不变。
根据上述假定,变形后的罩壁 必为直线。过 点作 的垂线 ,则有 。因三角形 是等腰三角形,故
同理可得
则 平行于 , ,即罩各微元的压合角相等。当微元 在 处碰撞时,爆轰波到达 点,当爆轰波到达 点时,微元 到达轴线 ,也就是说碰撞点从 点到了 点。碰撞点的运动速度以 表示,以后将证明,在上述假定条件下, 是不变的。罩壁 向轴线运动,当它到达碰撞点时,分成杵体和射流两部分,杵体以速度 运动,射流以速度 运动,碰撞点以速度 运动。如果我们站在碰撞点观察,并以 的速度和碰撞点一起运动,则可看到罩壁以相对速度 向碰撞点运动,然后分成两股:一股向碰撞点左方离去,另一股向碰撞点右方离去。重要的是,在碰撞点观察时,整个图形不变,罩壁像水一样向碰撞点流来,又分成两股,向相反方向流去。这是运动状态不随时间而变的定常过程,或稳定过程。图2.2.3c相当于把各个运动加上一个速度 的情况,称为动坐标,而图2.2.3b则成为静坐标。在动坐标时,把罩壁碰撞形成射流和杵体的过程描述成定常流动,罩壁外层向碰撞点左方运动,成为杵体,罩壁内层向碰撞点右方运动,成为射流。根据流体动力学,定常理想不可压缩流体可用伯努里方程描述,即流体各处的压力和单位体积动能总和为常数,对于罩壁 点和杵体的 点,可得下式:
图2.2.3 压跨计算示意图
其中 和 为流体中 点和 点的静压力, 为流体密度。我们取 点和 点离碰撞点 很远,受碰撞点的影响很小,则静压力应和周围气体压力相等。 、 点周围是爆轰产物,此处己膨胀得和大气压差不多了,因此可以认为二点的静压力相等,罩壁密度和杵体的密度也是相等的,因此由式(2.19)式可得:
同样,若所取为罩内表面上一点和射流中一点,则射流相对速度和罩壁相对速度相等。于是,在动坐标下,罩壁以速度、流向碰撞点,仍以速度、向左和向右离去,取向右为正,向左为负。在静坐标中,只要加上一个动坐标的速度(碰撞点速度) 就行了,得:
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