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第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和文数理论的研究都获得了丰富的成果．
第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段．曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和文数》为名发表了他的划时代的专著．
2. 分形的基础知识
2.1 分形的概念
什么是分形？刚开始时，曼德尔布罗特把那些豪斯道夫文数不是整数的集合称为分形．但是按照这个定义，那些看来应该是分形的，如Pcano曲线，就被排除在外，于是曼德尔布罗特又修改了原来的定义，把分形定义为：局部和整体按某种方式相似的集合．这也是目前有关分形定义普遍被接受的说法．
实际上对于什么是分形，到现在还没有一个确切的定义，就像生物学中对“生命”没有严格明确的定义一样，人们通常是罗列出生命体的一系列的特征来加以说明．同样，对于分形我们也可以这样处理．
（1）分形集合在任意小尺度下，总是有复杂的细节，或者说具有精细的结构．
（2）分形集合是高度不规则的，用经典的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是某些简单方程的解集，也不满足某些条件的点的轨迹．
（3）分形通常具有某种自相似形式，这种自相似可能是近似的自相似或者统计的自相似．
（4）分形文数的非整数性，它的文数一般是分数的，并且严格大于它相应的拓扑文数．
（5）生成的迭代性，分形结构虽说复杂但一般可用迭代法生成．
粗略的说，分形是没有特征长度但具有一定意义下的自相似性图形和结构的总称．
2.2 分形的性质
分形具有两个基本性质：自相似性和标度不变性．
（1）自相似性：如果几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质就叫自相似性．
自相似性普遍存在于自然界，如一棵大树与它自身的树枝在形状上没什么大的区别，这种关系在几何形状上称为自相似关系．另外，一片树叶的叶脉也具有这种性质；类似地还有山脉、河流、云朵等等．
如下图的树叶就具有自相似特点，树叶的一小部分经放大后与整片树叶相似，这片树叶就是典型的分形图案．
（2）标度不变性：形象地说，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时，无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的（统计意义），而从相片上也无法断定所用的相机倍数，即标度不变性或全息性．
2.3 分形在自然界和科学界中的体现
在自然界和社会科学中存在着很多不规则的复杂现象，这些复杂现象看上去好像杂乱无章，其实具有分形行为．如下列列举的一些具有分形行为的自然现象和科学现象：
地质地理中的分形：水文统计、海岸线轮廓、河流水系、沙漠形貌、台地形貌、火山地形、断层形态、湖泊分布、岩石裂缝、滩涂变迁等．
生命科学中的分形：基因图、大脑皮层形貌、细胞体系、经络形态等．
机械科学中的分形：表面形貌、故障诊断、分形弹簧、机械振动、转子动力分析、摩擦磨损、轴承、自组织制造等．
天文与气象中的分形：宇宙尺度、星球表面形貌、太阳黑子爆发、雪花颗粒、云层分布、闪电、台风、龙卷风漩流等．
社会科学中的分形：经济学中的股市波动、汇率走势、公司结构、区域经济、分形绘图、自组织管理行为等．