摘 要:高阶等差数列是数学研究的热点问题.其求通项公式和求前n项的和的问题比较重要.高阶等差数列在堆垛问题中也有很大应用,在初等和高等的学习进程中有着不可或缺的作用.本论文首先提出差数列、高阶等差数列的概念,继而对高阶等差数列的通项公式、求和公式进行了分析和探讨,并且举例说明了一些与其相关的解题方法.最后举例说明了高阶等差数列在实际中的应用.10800
关键词:高阶等差数列;通项公式;前 项和;堆垛问题;差数列
引言
高阶等差数列是数学研究的热点问题.我们在中学的教材中,只见到了“等差数列”“等比数列”,但也出现了一些数列,非“等差”或“等比”数列,让求它的通项公式或者前 项的和.而高阶等差数列就是其中的一类.因此,本文试着对“高阶等差数列”进行一些探究与分析.本文主要从“高阶等差数列”的基本概念、通项公式、求和公式和在实际中的应用进行分析和研究.高阶等差数列在初等和高等的学习进程中有着不可或缺的作用,其所蕴含的思想方法非常丰富,对发展学者的数学思文能力有重要意义.
文中所引用的参考文献[1]、[2]、[4]、[6]对高阶等差数列及其应用进行了分析与研究;文献[3]、[5]对高阶等差数列的通项公式和前 项的和公式进行了研究,文献[11]对高阶等差数列在堆垛中的应用进行了总结.但是,部分参考文献所做的工作并不完善,例如文献[1]、[2]对求高阶等差数列的前 项和的方法的总结和对高阶等差数列在实际中的应用不够全面.文献[8]对高阶等差数列的性质总结又不够全面系统.
本文在参考了大量文献的基础上,对高阶等差数列的概念,通项公式,前 项和公式,做了一个归纳总结,对求前 项和的方法做了一个分析比较.并且对高阶等差数列在实际中的应用,进行了大量的举例.同时,对部分参考文献的不足之处进行了细致补充,使得每一个方面的问题与解决方法都足够充分,让读者对高阶等差数列,有一个全面系统的认识.
1.高阶等差数列的概念
对于高阶等差数列的概念,为了符合一般的认识规律,我们先从“差数列”开始研究
1.1定义 给定一个数列{ },如果依次从第二项开始,逐次减去它的前一项,得到一个新的数列{ - },简单记作{ },就把它叫做原来数列{ }的一阶差数列.
以此类推,我们队一阶差数列{ }再求差,得到新的数列.
{ ︱ = = - }就叫原数列{ }的二阶差数列,由此,可以求得三阶差{ },四阶差{ },……,K阶差{ },……
注: 的 不是表示幂的意义,而只是表示K阶差的符号
我们列表表示这种关系如下:
={ }: , , , ,… , , , ,… ;
{ }={ }: , , ,… , , ,… ;
{ }: , , ,… , , ,… ;
{ }: , , ,… , ,… ;
……
我们来举一个例子更好的说明这个问题
例如: = ,即
={ }:1 ,16 ,81 ,256 ,625 ,1296 ,2401 ,……;
{ }={ }:15 ,65 ,175 ,369 ,671 ,1105 ,……;
{ }:50 ,110 ,194 ,302 ,434 ,……;
{ }:60 ,84 ,108 ,132 ,……;
{ }:24 ,24 ,24 ,……;
{ }:0 ,0 ,0 ,……;
{ }:0 ,0 ,0 ,……;
……
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