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摘 要：共形变换是几何学中求解实际问题的重要工具，在物理，数学等方面有非常广泛的应用。本论文首先讨论了曲面共形变换定义，并在此基础上重点探讨了其基本性质和复平面上的共形变换的思想和方法.其次，通过对实例进行分析，总结出了共形变换在实际应用步骤及过程，而且也对其应用范围作了分析，为共形变换的实际应用问题作出了一些理论参考.10899
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关键词：共形变换，第一基本形式，复平面
Common Transform the Nature and Application of the Surface Exploratin
Abstract：The conformal transformation is an important tool, solving practical problems in analytic geometry in physics, is widely used in mathematics. This paper discussed the surface conformal transformation definition, and then discusses the ideas and methods of conformal transformation and its basic properties and the complex plane. Secondly, through the examples of analysis, summed up the conformal transformation in the practical steps and processes, and also summarizes its application scope, as some reference for the practical application of conformal transformation.
Key words: Common Transformation, The first fundamental form,，The complex plane
目 录
摘 要 1
引言 2
1.预备知识 3
2.共形变换的性质 5
3.曲面共形变换的几个例子 8
4.曲面共形变换在平面静电场的应用 10
参考文献 16
致谢 17
曲面共形变换的性质和应用探究
引言
共形变换也称保角变换是古典数学中的重要问题之一，在微分几何中是应用于求解实际问题的重要工具，它在数学，物理，科技，工程等方面有着非常广泛的应用.针对该内容的教学存在泛而不精的情况在6世纪初已有保角变换的萌芽出现到了19世纪柯西已经建立起近代解析函数理论的基础，高斯在微分几何中也提出了保角变换的内容，而黎曼是保角变换的奠基者，提出了著名的保角变换的黎曼定理.黎曼曾说：“一元复变函数普遍理论基础给出了保角变换与复变函数理论的基本关系”.保角变换已经成了复变函数中的重要内容.特别在边值问题中有重要的应用.在中国知网，中国博士学位论文全文书库中检索到相关论文1篇及中国优秀硕士学位论文全文数据库中检索到相关论文4篇，中国期刊全文数据库中检索到发表的相关论文15篇，还有许多相关论文见于各学报.同时很多文献对共性变换的应用也进行了不同程度的讨论.
在检索到的学位论文中,文献[2]主要阐述了保角变换的数值分析方法的应用,其重点在于运用数值分析法对具体边界问题寻求相应变换关系.文献[9]用分式线形变换求解了偏心圆柱面带电导体和分离圆柱面带电导体的电势分布.文献[6]-[7]都涉及了保角变换在平面镜电场的应用.关于分式线形变换的应用,如文献[11][13][16].这些文献的特点是通过分式线形变换将边界形式为偏心圆,分离圆,点和圆,直线和圆的问题变换成边界形式为同心圆的问题.关于反余弦函数变换的应用,如文献[1][3],它通过反余弦变换把共焦椭圆柱形电容器变换为平行板电容器,从而给出共焦椭圆柱形电容器内人一点的电势和单位长度的电容.综合已获得的文献,主要是针对某一具体问题,找出一种或几种具体变换对问题进行求解,同时许多研究重叠交叉甚至重复,有个别研究中存在错误.
本文研究的主要内容分为三部分（1）在文献的基础上系统的给出保角变换的形成，发展历史，基本概念，以弥补文献中对此分析的不够深入和透彻；（2）在第一部分的基础上分析共性变换的基本性质和基本思想，已达到对共性变换有一个统一的认识；（3）归纳总结出共性变换的应用方法，并给出实际值和应用价值.