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1715-1718年，Taylor B讨论微分方程的奇解、包络和变量代换公式. 1734年, Clairaut研究了以他名字命名的Clairaut方程, 发现这个方程的通解是直线族. 之后， Clairaut和Euler对奇解进行了全面的研究, 给出从微分方程本身求得奇解的方法. 1772年, Laplace P将奇解概念推广到高阶方程和三个变量的方程. 两年后, Lagrange J给出了一般的方法和奇解是积分曲线族的包络的几何解释. 奇解的完整理论是在19世纪发展起来的, 由Cayley和Darboux在1872年给出现代的形式. 1754年, Lagrange J在等时曲线问题"上取得重要进展, 并开创了变分学.
20世纪以来，随着电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的大量边缘科学的产生以及发展，出现了许多新型的微分方程.70年代，由于数学向化学和生物学的渗透的发展，出现了很多的反应扩散方程.首先从“求通解”再到“求解定解问题”，数学家们发现了微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或者多个任意的常数，它的个数就是方程的阶数[5-7].
常微分方程在历史的河流中不断发展，经过数学家们的研究，已有很多种方法可以解得常微分方程的通解或特解，而本文着重介绍直接展开法对于二阶非线性微分方程的应用.
1.2 课题的目的及意义
常微分方程的发展及形成是和天文学、力学、物理学等其他科学技术的发展密切相关的.关于数学其他分支的新发展，比如，李群、复变函数、组合拓扑学等，这些都深刻的影响着常微分方程的发展，随着当前计算机的发展，更为常微分方程的应用及理论研究提供了很有力的工具.另外，牛顿本人已解决的二体问题以及17世纪提出的弹性问题等这类问题所导致的振动弦的方程、悬链线方程等都涉及微分方程的应用.天文学、力学、几何学等领域的很多问题同样能导致微分方程.当代，甚至很多社会科学的问题亦能够导致微分方程，比如人口发展模型、交通流模型等，因此微分方程的研究与人类社会是密切相关的.所以对于如何求得常微分方程的解，一直是数学家们争相研究的课题[8-11].
直接展开法是解微分方程众多方法中的一种，它是通过运用幂级数展开的方式对一个含小参数的二阶非线性微分方程问题求近似解，并且随着求得的近似解的次数越高，近似度也越高.此外，通过用此类方法解得的近似解和精确解进行图形对比，突显直接展开法的有效性.本文就是为了阐述这类方法对求解微分方程近似解的基本思想及优点[12-14].
1.3 课题的研究内容
本文主要阐述直接展开法对于二阶非线性微分方程的应用，内容涉及到对带有小参数的二阶非线性微分方程进行幂级数展开的方法及要求解二阶微分方程所需要的初边值条件[15].并且就微分方程解的存在性定理[16]进行讨论并且证明.通过对直接展开法的介绍，给出具体例子，通过解得的近似解及精确解，运用图形结合的方式[17-18]，更直观的了解此类方法的有效性.