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实际应用中p,q一般不超过2.
3. 自回归综合移动平均ARIMA(p,d,q)模型
模型含义 模型形式类似ARMA(p,q)模型，但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时，不能直接利用ARMA(p,q)模型，但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化，实际应用中d（差分次数）一般不超过2.
模型识别 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾，且缓慢衰减收敛，则该时间序列可能是ARIMA(p,d,q)模型。 若时间序列存在周期性波动，则可按时间周期进行差分，目的是将随机误差有长久影响的时间序列变成仅有暂时影响的时间序列。即差分处理后新序列符合ARMA(p,q)模型，元序列符合ARIMA(p,d,q)模型。
一个平稳的随机过程有以下要求：均数不随时间变化，方差不随时间变化，自相关系数只与时间间隔有关，而与所处的时间无关。
偏自相关函数（PACF）解决如下问题：
高阶的自相关是否真的非常重要？
是他的确有意义，还是因为低阶自相关系数较大才引起高阶自相关系数也大？
如果建立一个以前值预测现在值的回归模型，需要包括多少个以前值？
指数平滑法用序列过去值的加权均数来预测将来的值，并且给序列中近期的数据以较大的权重，远期的数据给以较小的权重。理由是随着时间流逝，过去值的影响逐渐减小。 指数平滑法应用时存在以下问题： kφkr
指数平滑法只适合于影响时间的消逝呈指数下降的数据、 指数平滑法的每次预测都是根据上一个数来的，一般来说，用序列的第一个数作为初始值。 如果数据点较多，那么经过指数衰减后，初始值的影响就不明显了。但是如果数据点少，则初始值的影响会很大，甚至大于近期的数据点，这就违背指数平滑影响呈指数衰减的假设了。所以，如果数据点少时应该考虑初始值的问题，一般来说，数据点大于40初始值的影响就不太明显。 需要指出的是，时间序列模型的预测一般不能太超前，对过于遥远的时间预测结果大多是不准确的。
三、利用模型进行趋势预测
1.AR[p ]模型预测方法
首先要应用A IC 准则定阶法对AR [p ]模型进行阶数的判定, 已知时间序列{ ± 1, ± 2, ⋯, }, 设定一个拟合模型的最高阶数L , 则AR [k ]模型A IC 定阶步骤如下:
1) 计算自相关系数x 和偏相关系数X , x = R , 其中R 为自协方差函数, 偏相关系数
X 则通过求解Yu le-Walker (Y - W ) 方程得到.
Y - W 方程:R x x (m ) = - , 2) 令
式中U 是A R (k ) 模型残差方差. 记A IC (k ) = log (U (k ) ) + 2k/N
3) 在 范围内, 如果当k = p 时, A IC (k ) = m in, 则适用的模型为AR [p ].
然后对给定的{ } 建立AR [p ]模型, 但是必须进行适应性检验, 其中最根本的是检验at 是否为白噪声.
对AR [p ]模型进行参数估计和适应性检验后, 就可以用所建立的AR [p ]模型对时间序列{ } 进行预测了.
对于 式, 我们假设已知{ }时刻的 值, 要预测k 步以后的状态值, 即求 的值.
那么对每个 : { , , ⋯, }, 1 s J 及 = { , , ⋯, } 分别建立A R
模型, 共计J 个A R 模型, 即令
= + +…+ + ,
{t= 1, 2, ⋯,M } 1 s J
= + +…+ + ,
{t= 1, 2, ⋯,M }
并用已知的 ( i M ) 分别对这J 个AR [p ]模型进行参数估计和模型检验.
定义 为在t 是可对未来k 步的预测值, (k ) 为预测误差, 即:
(k ) = + k -
并称预测误差 (k )的方差为最小时的 值为最佳预测, 对于式