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摘要:某些常微分方程的有效范围较小，仅仅在小范围内对解有效，而当扩大一定的范围后其解就会发散，本文针对这类问题，采取多级毕卡迭代来扩大解的有效范围。毕卡迭代法常用于证明微分方程解的存在及唯一性，也可以用以给出近似解析解。该方法能达到简化过程，近似逼近精确解的效果。本论文对于求近似解的问题用Mathematica程序作出了各次近似解的图形。主要分为三个步骤：一是构造迭代关系式，二是初值设定，三是针对微分方程的迭代值作出图形。21419
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毕业论文关键词： 常微分方程；多级毕卡迭代
Multistage Picard iteration method and its application
Abstract: The effective range of some ordinary differential equations is small, only in a small area on the efficient solution, and when expanding a certain range the solution will perge, the paper aim at this problem, we adopt the effective range of multistage Picard iteration to expand the solution. Picard iteration method is often used to prove that the solution of differential equation existence and uniqueness, but also can be used to approximate analytic solution. This method can simplify the process, approximate exact solutions of the effect .In this essay, we use Mathematica to approximate solution for the problem and made all approximate solutions. Mainly pided into three steps: one is structuring iterative equation, the second is setting the initial value , three is make pictures for differential equation iteration value.
Key words: ordinary differential equations; Multistage Picard iteration method
目 录
1 绪论 1
2 毕卡迭代法 2
2.1 迭代法 2
2.2 毕卡简介 2
2.3 毕卡迭代法的应用举例 3
3 多级毕卡迭代的描述 4
4 多级毕卡迭代的求解基本步骤 6
5 方法的应用 8
6 结论 24
致谢 25
参考文献 26
绪论
在微分方程的求解过程中，有一种解的唯一性定理的方法称为Picard逐次逼近法[2]，它是这个定理证明的核心，也是求近似解的一个理论基础。因此逐次逼近法在微分方程的求解过程中应用非常广泛。所谓的逐次逼近法是从与该问题的实质内容有着本质联系的，一些容易入手的条件或一些削弱的条件出发，再逐步地缩小（或扩大)范围，逐次的逼近来得到该问题所要求的解。
随着科学技术的发展，高阶非线性微分方程大量出现这些高阶非线性微分方程逼近解研究成果缺乏,制约着自然科学、经济等领域的发展。在天体物理学、工程技术、经济领域中出现了许多高阶的非线性微分方程，而这些微分方程往往是无法求其精确解的。Picard逐次逼近法是求微分方程近似解的一种有效方法，Picard逐次逼近法求一阶显式微分方程不可积类型近似解的研究已有相当丰富的成果。通过深入探究Picard逐步逼近方法,系统阐明、Picard在高阶微分方程中的应用，使在天体物理学，工程技术、经济领域中出现的高阶微分方程问题得到解决，满足生产不断发展的需要。
本论文建立多级毕卡迭代法的计算格式，设计Mathematica程序，举出几个例子来验证该方法的优势。在遇到一些特殊的微分方程运算时，Picard迭代法起到了一个良好的运算功能，更加精确地确定了扩大了解的有效域。
毕卡迭代法
法国数学家毕卡推广了逐步逼近法，证明了含复变量的微分方程和积分方程的解的存在唯一性定理，毕卡迭代法应运而生。
迭代法
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。 迭代是数值分析中通过一个初始估计出发,把前一步计算得到的结果当做下一步的初值，如此循环的过程称为迭代法。