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极值长度可以帮助解决复变函数中的很多问题，将我们之前学习的复变函数一些零散的知识点结合，融会贯通，才是一门学科的重要性，把已经学会的理论知识和那些需要解决的问题联系起来。在未来的科研中，知道怎么研究课题。
第一章 曲线族极值长度的定义与性质
在开始讲解极值长度这个概念前，我们需要先了解共形映射这个概念。简单的说，通过共形映射，我们才能很好的了解什么是极值长度，它是怎么作用的。
首先引进共形映射的概念。设函数 在区域 内解析， 为 内的一点，且 ，那么映射 在 具有两个性质：
（2） 保角性。即通过 的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。
（3） 伸缩率的不变性。即通过 的任何一条曲线的伸缩率均为 而与其形状和方向无关。
定义 设函数 在 的邻域是一一的，在 具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射 在 是共形的，或者称 在 是共形映射，如果映射 在 内的每一个点都是共形的，那么称 是区域 内的共形映射。
对共形映射有一定了解之后，我们现在来了解什么是极值长度，以及它的一些性质，为什么它能够帮助我们刻画复一些复变函数中的性质。
极值长度的定义
设 是一可求长曲线族， 是定义在复平面上的非负可测实函数，称 是 的允许函数，记为 ，如果对于每一条可求长曲线 ， 存在。 的极值长度 定义为
（1.1）
其中 ；如果 的每条曲线位于一个区域内，这时我们认定 外 而 存在。
那么这极值长度有哪些性质可以用于复变函数的研究呢？接下来我们看看极值长度的几个简单性质。
性质Ⅰ
极值长度是共形不变量：设 是区域 内的曲线族， 是 到 的共形映射，则
证明 若 那么
因为若 ，则 且
，
对 取下确界得 。同理若考虑 ；则有 ，故 。
性质Ⅱ
若 则
， （1.2）
若每一条曲线 包含一条曲线 ，上面两式仍对。
证明
若 ,则 ，故 。又若每一条曲线 都包含一条曲线 ，这时当 仍有 。
性质Ⅲ
若 ， 是两个不想交的区域内的曲线族， 是一曲线族，其中每一条曲线包含一条曲线 和一条曲线 则
(1.3)
证明
设 ， ， 是任意常数， ,这时 ，
由于 不相交， 在 外为0， 在 外为 ，所以 属于复平面时， ，
于是， .