在2515年有 200万亿
到2660年将有3600万亿
地球表面积约为为 510067866平方公里,若是按人均地球表面积计算,到2625年仅为每人0.09平方米,也就是说必须要人挨着人才能站得下,而在35年后的2660年,人口又翻了一番,就会要人的肩上再站人了。随着时间的推移,我们可以得出下式
然而,这完全不符合人口发展的实际情况。这说明在人口基数不是很大的时候,马尔萨斯人口方程还能较精确地反映出人及口增长的实际情况。但是当人口级数变得很大时,其精确程度就大大降低了。究其根源,由于随着人口的迅速膨胀,资源短缺、环境恶化等问题越来越突出,这些都将限制人口的增长。如果考虑到这些因素,就必须对马尔萨斯方程进行修改,增加一些阻滞系数,使方程更加准确。
2.2 Logistic模型[6]
马尔萨斯人口模型的出现,开启人类对于人口预测模型的时代,但是由于马尔萨斯忽略了一些实际情况,导致他的人口预测模型出现较大的偏差。
在这样的情况下,1845年,荷兰的数学、生物学家弗尔哈斯特(Verhulst)提出了一个修改方案,即将方程修改为
其中 、 称为“生命系数”。由于 ,因此当人口基数 不太大时, 这一项相对于“ ”可以忽略不计;而当 很大时, 这一项所起的作用就不容忽视了,它抑制了人口的增长速度。
于是,我们就得到了下面的人口模型:
(2.3)
上式是一个可分离变量的一阶微分方程。解之,可得
(2.4)
这就是人口 随时间 的变化规律。下面,我们就对(2.4)作进一步的讨论,并根据它作一些对人口的发展情况的预测。
首先,我们对(2.4)式两边同时求极限后易得出下式
对于上式,可以看出不论人口的基数如何,随着时间的推移,人口总量最终将趋于一个确定的极限值 ;
其次,对(2.3)式两边同时求导可得
若令 ,得 ,易知这正是上述函数的图象(称为“人口增长曲线”或“ 型曲线”)拐点的纵坐标,
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