又如:圆的半径为 ,求内接与圆中最大三角形的面积.圆被称为平面上最美的图形,因为圆中含有无穷多条对称轴,要求圆中最大的内接三角形,那么这个三角形在完全性上就必须最接近圆,因而这个三角形就具有最多的对称性,我们知道三角形中正三角形具有最多的对称轴.从这道题中我们可以看出,对称的思想可以帮助人们进行猜测,进而指出问题的解决方向.
3 统一美在数学发现中的启迪作用
古代道家说:天空是清澈的,大地是安宁的,万物能够生存,都有一个一相当.世界的统一性在于它的物质性,毕达哥拉斯学派认为万物都可以用数来表达.数学中出现了众多的分支,合久必分,分久必合,数学也在分与和的矛盾中得以发展.数学美的重要标志之一就是数学的结构美,数学中充溢着辩证思想,少许外表上看没有关系的定义、定理、概念,但在必然的条件下却能够处在一个体系中.
3.1统一性启迪数学概念的拓广
勾股定理被德国科学家开普勒称为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一,它是著名的古希腊的毕达哥拉斯的杰作之一,在数学的发展中的地位非常高。追求统一性,对数学概念的拓广起着非常重要的作用.例如数学中的概念:三角函数和勾股数等都满足勾股定理;费尔马猜想: 无非0的整数解 ;广义勾股数(一)与广义勾股数(二);平面曲线积分、空间曲线微分、欧式空间两点间的距离等概念都是由勾股定理拓广而产生的,你中有我,我中有你.
又如,初中我们所学的“距离”概念:点与点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线之间、两个平行平面之间、直线与平行平面之间的距离等概念,这些距离都可以统一为一个大的概念.由于距离空间极限概念的局限性,距离空间又被拓广到拓扑空间.由此可见,正是人们为了达到某些统一,才有必要对原有的概念加以拓展延伸,同时拓广又是数学发展的重要手段.
3.2利用统一美,使解题另辟蹊径
问题一:已知 ,求证: .已知的问题条件是三个数的和为零,所要证明的是它们两两之间积的和,等式的各项次数都是一次,不等式的各项都是2次,由此可见已知和未知是不均匀的数,这样很难从已知向未知靠近,显然要解决这个问题,首要任务是达到次数的统一.通过观察已知条件,我们对等式两边同时平方,展开后即变成了二次形式,通过移向很容易得到 ,由平方的性质结论得证.
问题二:已知 ,且 ,求 的取值范围.问题的已知条件 是一个等式,而所要求的 是一个代数式,已知和未知在结构形式上不和谐、不统一,目标是要求一个代数式的范围,我们可以设 ,通过换元可以化为统一的结构.又由于 为一次项, 为二次项,为达到次数的统一,对等式 两边同时平方,接下来再使用均值不等式转化为关于 的不等式便可求解.
从以上两道数学题的优解,我们可以发现,使用统一美,不仅可以提供解题的思路,还可以使求解过程达到事半功倍的效果.
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