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摘 要：正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要的地位，同时正交变换对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义。本文主要对正交矩阵和正交变换的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广。29231
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毕业论文关键词：正交矩阵；正交变换；对合矩阵
The discussion of orthogonal matrix and orthogonal transformation
Abstract: Orthogonal matrix, as a kind of special and common matrix occupies an important position in matrix theory, and the discussion of orthogonal matrix is of great significance. This paper mainly summarizes the properties of orthogonal matrix and conclision, and the related properties of promotion.
Keywords: orthogonal matrix; orthogonal transformation; property
目 录
摘 要 1
引言 2
1. 正交矩阵 3
1.1正交矩阵的等价定义 3
1.2正交矩阵的性质及证明 3
1.3正交矩阵的应用 8
2.正交变换 12
2.1 正交变换的定义 12
2.2 正交变换的性质 13
参考文献 17
致 谢 18
正交矩阵和正交变换的讨论
引 言在高等代数中，我们能看到，在一些矩阵的理论中，某些正交矩阵是可以进行特殊化变成酉矩阵的，因此总是正规矩阵.尽管在这里我们仅考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求.要看出与内积的联系.
本文主要参考了《高等代数》教程.在石生明教材的基础上还参考了丁同仁编写的高等代数，这对解决实际应用问题有很大的帮助.同时已有很多文献对正交矩阵和正交变换的性质做了研究；文献[1][2][3][4][5][6][7]讨论了正交矩阵的性质；文献[8][9][10][11][12][13][14]则讨论正交变换的相关性质.
本文在广泛查阅资料和上述文献的基础上，结合自己的学习实践，根据矩阵的定义和性质，首先给出正交矩阵的相关定义，然后总结归纳了其性质，最后给出了相关的应用.
1.正交矩阵
1.1正交矩阵的等价定义
定义1 阶实矩阵 ，若满足 ，则称 为正交矩阵.
定义2 阶实矩阵 ，若满足 ，则称 为正交矩阵.
定义3 阶实矩阵 ，若满足 ，则称 为正交矩阵.
定义4 阶实矩阵 的 个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称 为正交矩阵.
1.2正交矩阵的性质及证明
性质1.2. 设 为正交矩阵, 则:
(1)对 的任一行(列)乘以 或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为正交矩阵;
(2) , 且 可逆, 其逆 也是正交矩阵;
(3) , 也是正交矩阵.
证 (1)令 ,其中 是 的单位正交向量组.显然 以及 也都是 的单位正交向量组.由定义4 知结论成立.
(2), (3)的证明见文献[ 1 ～ 3] , 这里从略.
设 为正交矩阵, 当 时, 我们 称为第一类正交矩阵;当 时, 则称 为第二类正交矩阵.
性质1.2.2 设 为正交矩阵, 是 的特征值,则 也是 的特征值;
性质1.2. 设 为正交矩阵, 则其特征值的模等于1 ,且属于 的不同特征值的特征向量互相正交.
证 设 为 的特征值, 是 的属于 的特征向量,