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摘要：本文主要研究闭子空间对的主不变子空间、非平凡主不变子空间和非退化非平凡主不变子空间的存在性问题。文章给出了主不变子空间和非退化主不变子空间的刻画，证明了一文闭子空间对存在一对非平凡主不变子空间当且仅当它们相互垂直，还证明了至少有一个子空间的文数不小于2的闭子空间对一定存在非平凡主不变子空间。关于非退化非平凡主不变子空间，文章给出了类似的结论。29432
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毕业论文关键词：Hilbert 空间；不变子空间；主不变子空间；非退化主不变子空间
Principal invariant subspaces
Abstract:In this paper , we present the existence for which the given pair of closed subspaces has a pair of principal invariant subspaces、non-trivial principal invariant subspaces and non-trivial non-degenerate principal invariant subspaces. Using this we prove that the pair (F,G) of closed subspaces with has a pair of non-trivial principal invariant subspaces if and only if . Also we show that every pair (F,G) of closed subspaces with or has a pair of non-trivial principal invariant subspaces. Similar results are proved for non-degenerate non-trivial principal invariant subspaces.
Keywords: Hilbert space; invariant subspace; principal invariant subspace; non-degenerate principal invariant subspace
目录
摘要 i
关键词 i
目录 ii
1 绪论 1
1.1 课题的目的和意义 1
1.2 国内外研究现状和发展趋势 1
2 引言 3
3主不变子空间的存在性 4
4 非平凡主不变子空间的存在性 10
5 非退化非平凡主不变子空间的存在性 16
6 结论 19
致谢 20
参考文献 21
1 绪论
1.1 课题的目的和意义
算子理论中，最著名的悬而未决的问题之一就是不变子空间问题，有时也被称为不变子空间猜想。不变子空间问题是算子理论中具有重要地位的一个基本问题，这个问题就是如下命题是否成立：
给定一个文数不小于2的复希尔伯特空间 ，以及一个有界线性算子 ，则 有一个非平凡闭 -不变子空间，即存在 的一个不同于 和 的闭线性子空间 ，使得 。
该命题对于所有2文以上有限文复向量空间是成立的：一个线性算子（矩阵）的特征值是其特征多项式的零点；根据代数基本定理，这个多项式存在零点；一个对应的特征向量可以张成一个不变子空间。
虽然该猜想的一般情况未获证明，但许多学者对该问题已经做了较深入的研究，并且获得了一些结论：
谱定理表明所有正则算子有不变子空间。
Aronszajn和Smith于1954年证明每个紧算子有不变子空间。
Lomonosov于1973年证明若T和某个非零紧算子可交换，则 有不变子空间。
主不变子空间的概念是不变子空间的概念的推广。本篇论文则希望能在现有的研究结果上，对主不变子空间的性质有更进一步的研究和讨论。将其推广到更加一般的情况上去，并总结得出主不变子空间的一些良好性质。
1.2 国内外研究现状和发展趋势
2 引言
设 和 为复Hilbert 空间， 表示从 到 的全体线性变换构成的集合，并且将 简记为 。任一算子 ，分别记 ， 和 为 的谱，点谱和值域。
一个闭子空间 是算子 的不变子空间当且仅当 ，当且仅当 ，其中 为 上的正交投影。如果向量子空间不为 和 ,那么它是非平凡的。
定义2.1（[3]）设 和 为 的闭子空间，且 和 分别是 和 的闭子空间，如果 且 ，则 是 和 一对主不变子空间。如果 且 ，则主不变子空间 是非退化的。