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显然， 和 是给定子空间 和 的主不变子空间。如果 不为 和 ，那么 是非平凡的。主不变子空间理论被广泛应用于子空间夹角理论（[4-6]）。
众所周知，Hilbert空间理论最难解的问题之一就是是否每个在 中的算子都有一个非平凡的闭的不变子空间（[7]）。主不变子空间的问题已经得到了广泛的研究（[8-10]）。在这篇文章中，我们研究非平凡主不变子空间和非退化非平凡主不变子空间的存在性。
在第四章节，我们研究了给定的闭子空间存在一对非平凡主不变子空间的充分必要条件。根据这个定理，然后证明了一文闭子空间对存在一对非平凡主不变子空间当且仅当它们相互垂直，还证明了至少有一个子空间的文数不小于2的闭子空间对一定存在非平凡主不变子空间。在第五章节我们研究了给定的闭子空间存在一对非退化非平凡主不变子空间的充分必要条件。