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卷积可从多个角度去解释，从数学角度上看来是一种反映两个函数或者两个序列之间的运算方法；从物理学上看，它可以代表某类系统对某个输入或者物理量的调制或污染；再从信号角度来看，它代表了线性系统对输入信号的影响方式，系统冲击函数和信号输入的卷积就等于输出的卷积，只有符合积累原理的系统，才有系统冲击函数的概念，所以使卷积作为系统输入在数学上运算的必要形式。
本文就卷积在数学、科学和工程上的应用进行了研究，以及对卷积应用到这些地方后可以解决什么问题进行了探讨。
1.2 国内外研究现状
对于卷积，前人已经有了较多的研究。张元林的《积分变换》[6]中，对卷积的概念，卷积的性质，卷积定理以及相关的函数分别进行了简单的介绍，并且把卷积在傅里叶变换和拉普拉斯变换中分别进行分析与对比，得出卷积在几种积分变换中的重要性；王晓平的《卷积积分的基本计算方法》[17]中，介绍了卷积的几种不同计算方法；Hedberg L的《On certain convolution inequalities》[10]中，介绍了一些卷积不等式的证明及应用；杨毅明的《信号数字处理》[7]中，详细讲述了卷积在数字信号处理中的应用，以用来求解系统零状态响应，从而对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波，即用数值计算的方式对信号进行加工；刘喜武，刘洪的《地震盲反褶积综述》[15]，介绍了反卷积在地震勘探中的运用。用卷积解决工程问题、试井问题，已经取得了较好的成果。而应用反卷积解决此类问题，直到最近，在Schroeter、Hollaender和Gringarten等人的努力研究下，在解决了反卷积计算方法上的稳定性问题后,才使得反卷积方法引起了试井界的广泛注意。
本文在研究卷积应用的同时，也会探索与卷积相关的其他应用，将理论与实际结合，把这些科学工程问题转化为数学问题，进而求解并加以应用。
2 卷积基本知识
卷积是一种特殊的乘法运算，因其有一些较好的性质，常常取代普通函数的乘法运算，一直被广泛的应用。
2.1 定义
设 是R1上的两个可积函数，作积分：
我们可以证明，关于几乎所有的实数x，上面的积分都是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新的函数 ，称为函数f与g的卷积，记为 。
2.2 性质
2.2.1 卷积的运算律
（1）交换律：
表明卷积结果与两个函数的次序无关。
物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。
（2)结合律：
物理意义：如果冲击响应为 的两个系统相互串联的话，那么这两个系统的组合可能等效成为唯一一个冲激响应 的系统。
(3)分配律：
事实上这个结果是线性系统叠加特性的体现。
如果 是系统的冲激响应， 和 为激励,那么系统对 的零状态的响应
等于系统对 和 分别作用下的零状态响应的和。反过来看，如果 为激励，
为系统的冲激响应，那么这个系统对激励 的零状态下的响应可以看作是两个
并联的子系统 和 在激励 作用下的零状态时的响应的叠加 。
交换律、结合律和分配律都满足普通乘法的性质。