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摘要:连续方程在数学与物理的学习中具有重要的作用,所以研究其可积离散意义重大.而对于可积离散化的研究,求出其孤子解是最为重要的一步.本文在介绍孤子理论的基础上给出了KdV和mKdV可积离散化的具体步骤,并且利用 小参数扰动法分别求出其孤子解.通过对得到的孤子解的研究,来讨论此方法的可积性.33768
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毕业论文关键词:孤子解; 可积离散化;KdV方程;mKdV方程; 小参数扰动法
The Integrable Discretization of Several Continuity Equations
Abstract: The continuity equation plays an important role in mathematics and physics .The sense is great. For the integrable discretization, obtain the soliton solution is the most important step. In this paperarning, Introduction of soliton theory and integrable discretization of the specific steps, and the use of hirota small parameter perturbation method are derived for the soliton solution. Through the study of the soliton solutions, to discuss the method of integrable
Keywords:Solitonsolution;Theintegrablediscretization;KdVequation;MKdVequation;
Small parameter perturbation method
目 录
摘 要 1
1.引言 2
1.1 孤子理论的产生与发展 2
1.2孤子理论的研究概述 2
1.3论文的主要工作和结构 3
2.预备知识 3
2.1双线性导数的定义与性质 4
2.2双曲算子的定义与性质 5
3.KdV及mKdV方程的可积离散化 5
3.1KdV方程的可积离散化 6
3.2mKdV方程的可积离散化 8
4.AKNS方程的可积离散化 9
4.1二阶AKNS方程的可积离散化 10
4.2三阶AKNS方程的可积离散化 11
5.结束语 12
参考文献 13
致谢 15
几个连续方程的可积离散化1．引言
1.1孤子理论的产生与发展
孤子理论现象的研究,就要从英国著名学家的一次旅行说起了.1844年的时候, 英国科学会第十四届会议上的报告《论波动》介绍了观察到的水波现象,孤立波这个概念由此产生,并提出这种波是流体力学中的具有稳定解的行波.经过近半个世纪的发展,荷兰的数学家和他的学生在进行全面透彻的分析这种后指出：这种形式的波可以近似的看成小振幅的长波,通过进一步的研究,浅水波运动方程由此确立起来.从而,从理论上证实了这种孤立波的存在性.后来,为了纪念这两位比较杰出的科学家的成就,就将建立的水波模型称为KdV方程,为孤子理论的发展奠定了基础.然而,他们的研究成果并没有引起人们的广泛关注..
在20世纪五十年代的时候,著名的物理学家 从一个有趣的质点振动试验中获得灵感,发现了在经典力学理论下的能量分布的不均分性.后来,又在研究基本粒子模型时,通过对 方程作数值试验分析,首次发现了有一类在碰撞前后保持原有的运动状态不变的波；后来,美国的数学家和物理学家从连续统一体的角度出发,再一次证明了这种波的存在性,揭示了了KdV方程的这两种孤波在相互碰撞之后,依然能保持各自之前的运动状态继续向前传播,这是一个弹性的碰撞过程,没有任何的能量损失.孤立子的概念也就由此确立起来.
1.2孤子理论的研究概述
可积系统与孤子理论是非线性学科的一个非常重要的分支.它既反映了一类很稳定的自然现象,如江河中的一类水波、光线中的信号的传播等；为许多问题 (例如光孤子的通讯等)提供了某些启示.又为非线性的偏微方程求其显式解的提供了思路与可能,因此受到物理学界、数学界的高度重视.所以,对孤子方程精确解的讨论和研究意义非凡.