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摘要：文章研究了非交换环上一些非线性且具有Lax可积性的方程族．本文依据Lax可积理论，对原有的Lax方程进行非交换扩展，得到几个非交换可积方程，包括非交换AKNS方程、非交换耦合的Harry-Dym(H-D)方程、非交换Kaup-Newell(KN)方程、非交换Levi方程和非交换的Toda链方程．第一章通过对Lax可积系统进行扩展，得到了非交换等谱AKNS方程族，从耦合的Harry-Dym(H-D)谱问题出发，从非交换角度计算出Lenard算子对 ，并得到相应耦合H-D方程族，并运用类似的方法讨论了Kaup-Newell(KN)谱问题．第二章从交换和非交换两个方面讨论了Levi方程的二阶谱问题．第三章运用了第一章的思想导出了前两个矩阵Toda链方程. 33769
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毕业论文关键词：等谱AKNS方程；耦合H-D方程；KN方程；等谱Levi方程；Toda链方程
The Exchange of Accurate Solution of Integrability Equation Family
Abstract: In the thesis, we study the exchange of accurate solution of integrability equation family of Lax integrability and some nonlinear evolution equations defined on noncommutative rings.Based on the theory of Lax integrability, several noncommutative integrable equations are obtained by extention of original Lax equation which include noncommutative AKNS equation, noncommutative coupling Harry-Dym equation,noncommutative Kaup-Newell(KN) equation,noncommutative Leci equation and noncommutative Toda lattice equation..In Chapter 1, we obtain the noncommutative isospectrum AKNS equation hierarchy through extention of Lax integrable system, considering with the coupling Harry-Dym (H-D) spectral problem, we calculate Lenard operators K, J and the Coupling H-D equation hierarchy from the noncommutation respectively,and the Kaup-Newell (KN) spectrum problem by a similar approach.In Chapter 2,we discusses about the commutative and noncommutative isospectrum Levi equation hierarchy.In Chapter 3, discusses about the reduction of the matrix Toda lattice equation by a similar approach.
Key words: AKNS Equation; Coupling H-D Equation; KN Equation ; Levi Equation; Toda lattice equation
目 录
摘 要 1
引 言 3
1.几个非交换可积方程 6
1.1非交换等谱AKNS方程族 6
1.2非交换耦合Harry-Dym方程族 8
1.3非交换KN方程族 9
2.Levi方程 13
2.1 交换等谱Levi方程 13
2.2 非交换等谱Levi方程 16
3.等谱Toda链方程族 19
3.1等谱Toda链方程族 19
3.2 非交换等谱Toda链方程 22
参考文献 24
致谢 25
非交换可积方程族的精确解引言
当代，可积系统是非线性科学研究的一重要内容，在历史上它有一个长期的发展过程，可以把它分为四个阶段．现代人们研究的可积系统起源于英国科学家J.S.Russell 的发现，1834年Russell注意到一种奇特的自然现象：当一艘急速行驶的船忽然停下来，行进中船头出现的水波速度和形状保持不变，Russell 猜想这类水波是孤波——流体运动的一个稳定解．当时物理学界对这个现象进行了的激烈讨论，却未能对该现象给出合理的解释．到了 1895 年，荷兰著名数学家D.J.Korteweg和他的学生 G.de Vries全面分析孤波后，根据该小振幅的长波建立了关于浅水波运动的方程，而且运用行波法求出的孤波解与Russell 描述的一致，至此孤波有了满意的解释．为表示对这两位学者贡献的纪念，称浅水波运动的方程为KdV方程，其标准形式为
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二战后，为了弄明白有关KdV 方程的这种特殊的性质，C.S.Gardner，J.M.Greene，M.D;Kruskal 和 R.M.Miura(GGKM) 对此做了大量的研究，并得到了一些的影响很大的结果．首先，他们通过对 KdV 方程做Miura 变换 从而得到了mKdV方程