带有绝对值函数的可导性与可积性研究

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毕业论文

1．引言....1

1.1研究背景...1

1.2研究历史及现状.2

1.3本文拟解决的问题及方法3

2.绝对值函数的求导方法...3

2.1将含有绝对值的函数求导数转化为分段函数求导数.4

2.2用去绝对值化为无理函数求导4

2.3利用推导公式求导..5

3.导数的计算及应用实例分析8

4.绝对值函数的积分....11

4.1不定积分与定积分11

4.2含绝对值函数的积分.12

4.3含绝对值函数的可积性探讨...15

4.4数值试验...17

结论....20

致谢.21

参考文献....22

1．引言函数的求导和求积分的问题，一直以来都极为重要，它是解决其他很多数学问题的重要基础，其方法和相关定理数不胜数。但含绝对值的函数与一般函数不同，它具有分段的特征，其导数的求法不能按照一般的导数求法进行，其积分的性质也与一般的积分性质发生了很大的改变。
1.1研究背景带绝对值的函数作为分段函数的一个典型代表，其可导性和可积性与原来的函数有密切关系。一般而言，带有绝对值的函数可分为) (x f与) ( ) ( x f x g两大类。他们的可导性与可积性都与其原函数有着莫大的关系。在高等数学中，导数和积分是微积分中的重要概念，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代科学技术研究必不可少的工具。函数) (x f的绝对值 . 0 ) (, 0 ) (, 0 ) (), (, 0), (| ) ( |x fx fx fx fx fx f 称为) (x f的绝对值函数，而使0 ) (  x f的点称为曲线) (x f的尖点。例如：函数1 ) (2  x x f，其函数图象及绝对值函数) (x f的图像如下图 1.1所示：从图 1.1中可以看出点) 0 , 1 (和点) 0 , 1 (是) (x f的两个尖点。
1.2研究历史及现状大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分) ( ) ( A f E A f  ,发现的因子E就是我们现在所说的导数) ( ' x f，这就揭开了函数导数的研究序幕。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，源]自{751·~论\文}网·www.751com.cn/ 称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数) (x f y 在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了  -语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式： xx f x x ffx    ) ( ) (lim '0 一般函数的导数，从概念上来计算，需要计算xx f x x fx    ) ( ) (lim0，或者按部就班，用四则运算来求解；而计算绝对值函数的导数时，由于其分段的特殊性质，传统方法是先将函数依分界点划为分段函数，分别求导，而对于分界点处的导数，则由导数的定义，分别求解该点处的左、右导数得出。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。