复杂积分的概率算法研究

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摘要本文结合数学中求解定积分的数学原理和求解方法，引入了三种求解复杂定积分的概率算法.这三种算法主要通过积分转化为某随机变量函数的数学期望和随机抽样来快速计算复杂积分.本文介绍了三种求解复杂定积分的概率算法，这三种算法可以帮助我们解决生活中遇到的一些复杂定积分的应用问题.36365
毕业论文键词复杂积分;定积分;概率算法;数学期望;数值积分
一、问题的提出概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科，它最早起源于赌博问题.费马、惠更斯对这个问题首先进行了研究和关注.后来由于社会科学的进步和工程技术的需要，促使概率论得到了飞速发展.现在生活中的赌博问题，彩票问题，股票问题以及各种各样的包含不确定性的问题都涉及到概率的研究性.发展到今天，概率论以及以它为基础的数理统计学科等，在自然科学、社会科学、技术工程、军事科学以及社会生活等诸多领域起到了不可替代的作用.概率论越来越大的影响以及人们对概率论愈来愈高的觉醒，为我们的学科带来了新的机遇[1,2].因此来研究概率论在数学方面中的应用问题对人们生活水平的提高和社会的进步具有重要的意义.定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题，它贯穿了整个数学史.而求解定积分的基本方法是：牛顿—莱布尼兹公式等一些具有局限性要求的公式，然而在实际问题中当碰到以下情况时：
(1)被积函数是用函数表格提供的；
（2）被积函数极为复杂，求不出原函数，或者可以求出原函数，但形式复杂不易计算等，这些情况通常很难使用该公式计算.因此，牛顿—莱布尼兹公式等一些计算积分值的公式便无用武之地，无法进行求解计算.而目前存在的几种计算复杂积分的方法而言，都具有一定的局限性.不同的计算方法所要求的的前提或已知条件不尽相同.本文针对这种情况，结合概率论中求解数学期望的方法，研究了几种有效计算复杂积分的概率算法.二、几种求解定积分的概率算法概率论是一门研究随机现象的学科，它通过大量重复的试验，以频率来估计概率，进而来估算所研究问题发生的概率大小.随着现代科学技术的快速发展，概率知识与我们的生活越来越息息相关，在社会生活和社会生产的众多领域都涉及到概率理论的研究.概率算法不仅解决了生活中的一些数学难题，而且对于生活中涉及积分计算的问题也有着重要的作用.下面我们就来研究几种使用概率理论来表示定积分的近似计算问题.1 随机投点法它的中心思想是：在矩形区域中随机均匀的投点，以落入所求积分所在的区域的概率，来估计定积分的值.从而可以利用计算概率来达到计算复杂定积分的目的.如下图 1 所示：设   f x 是区域D上的连续函数，        , : , , , D x y x a b y c d    ，   0 f x M   ，那么定积分  baJ f x dx   就是由曲线   x f y  、x 轴以及直线x a  和直线x b  所围图形 A的面积.根据几何概型的概率计算方法有：  ADP A 事件区域的面积区域的面积，那么事件A 区域的面积=   P x  区域D的面积.现在假设向区域D中随机均匀投点n 次，落入A 区域中的次数为m 次，设事件A 所在区域的面积为s ，区域D所在的面积为 ) ( ) ( c d a b k     ，故有 ks=nm ，从而有    m s k b a d c p Jn     .由于每次投点的结果或者落在区域 A中，或者落在区域D中，即服从二点分布，故m 服从二项分布   , b n p ，且 nm p  ，故可以得到 J 的一个估计：    ˆ J b a d c p   证明：    ˆm k kE J E k E m np kpn n n            b a d c p   J 步骤如下：（1）独立的产生n 组区域D上均匀分布的随机数，      1 1 2 2 , , , , , ,n n x y x y x y  ，其中    , , , x U a b y U c d   ；（2）统计   y f x  的次数m ；（3）用 nm 来估计 J .由随机投点法的计算过程，我们由此可以知道，如果一些复杂积分难以直接计算，但是却可以利用计算机计算出它在一定条件下发生的概率，那么我们就可以用这种随机投点的方法，求出其数学期望，从而来估算定积分的值.2 均值法设   f x 为闭区间  b a, 上的连续函数，   b a, 是R 上的任意闭区间.若   f x 非常复杂或不能用初等函数表示时，由数学期望的定义可知：     ( )b ba af xJ f x dx g x dxg x     XXfEg      其中   g x 为   , U a b 上随机变量的一个密度函数且   0 g x  ，     , x g x U a b   .由矩估计[3]可得：  X ˆXfJ Eg         11, 1, 2, , ngnii if xin x    步骤如下：（1）从   g x 所在的分布中随机抽取n 个随机数 n x x x , , , 2 1  ；（2）计算   iif xg x；（3）用    ni iix gx fn 11来估计 J .由均值法的计算过程，我们可以发现利用概率方法来计算一些复杂的积分，十分方便有效.因此工业生产中一些难以直接用数学方法计算的涉及到积分的应用问题，我们可以根据实际情况，分析问题，转换积分形式，寻找方便、有效的解决方法.