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摘要 向量值函数的很多性质，如向量值函数的极限、连续性和导数等都和实函数的相应性质相似，本文利用初等方法将实函数上的一些性质平移到一元向量函数上，进而推广到多元向量函数中。36558
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毕业论文关键词 向量值函数；极限；连续性；
可微性当我们所讨论的函数仅仅限于只一个自变量或者多个自变量的函数，简称一元函数、二元函数和多元函数.如果我们遇到的是多个因变量的函数，例如，在空间内运动质点在t 时刻的坐标( , , ) x y z 可用参数形式的函数描述为( ),( ),( ),x f ty g t t Rz h t 这样点( , , ) ( ( ), ( ), ( )) x y z f t g t h t 形成空间曲线C ，质点的运动轨迹就是用参数方程来描述,我们可以用 ( ) r t表示从原点到质点在t 时刻的位置 ( ( ), ( ), ( )) P f t g t h t 的向量，那么 ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) r t OP f t g t h t f t i g t j h t k 这就是一个自变量t ，三个因变量 , , x y z 的一种情况.上述情况就是一元向量值函数，把 1 n 的一元向量值函数的结论推广到多文空间上，就得出更有用的结论，即自变量和因变量都是多文的一般向量值函数的性质.向量值函数在现实生活中有着非常广泛的意义，特别是对于一些工程学科的十分有帮助.本文先是给出本科期间实值函数的一元函数、二元函数以及多元函数的函数性质，再通过初等的方法，讨论了向量值函数的定义，极限，连续性和可微性，并且证明了一元函数的微分中值定理对于向量值函数不成立.一、向量值函数的定义对于实值函数，我们可以采用集合来定义函数.定义 1.1 若 nX R ，Y R ， f 是X Y 的一个子集，对每一个x X 都有惟一的一个 y Y ，使( , ) x y f ,则称 f 为X 到Y 的实函数.记作: f X Yx y或简单地记作 : f X Y ，其中X 称为 f 的定义域.易见，当 2 n （或 3 n ）时，由定义所确定的函数就是我们原来所熟悉的二元（三元）实值函数.而通过观察最常见的向量函数，如设上述 mY R ，例如：平面（或空间）曲线的参数方程就看做 1 n ， 2 m （或 3 m ）的向量函数；曲面的参数方程是 2 n ， 3 m 的向量函数，由此,我们可以推出一般向量值函数的定义.定义 1.2[1]设D 是n 文空间 nR 的一个子集，若对于D 中任何一个向量
1 2 [ , , ]Tn x x x x ，依据某一个法则 f ，有m 文空间 mR 中唯一的一个向量 1 2 [ , , ]Tm y y y y 与之对应，则称 f是定义在D上的一个向量值函数，记作: ,mD Rx y f （1.1）D称为函数 f的定义域， y称为 f在点x的函数值.向量值函数式（1.1）的每个分量是 1 2 , ,n x x x 的一个n 元实函数，1 2 ( ) ( , , ), 1, 2, ,i i n f f x x x i m x 而式（1.1）对应于m 个n 元数量值函数：1 1 1 1 22 2 2 1 21 2( ) ( , , ),( ) ( , , ),( ) ( , , ).nnm m m ny f f x x xy f f x x xy f f x x x xxx 为了运算方便， 常把 nR 与 mR 中的向量写成列向量.这时， 记 1 2 [ , , ]Tn x x x x ， 则式 （1.1）可表示为1 1 1 2 12 2 1 2 21 2( ) ( , , )( , , ) ( ).( , , ) ( )nnm m nmf f x x x yy f x x x fyy f x x x f xxx 特别当 1 m 时，函数值 y 是一个实数，这时，1 2 ( ) ( , , ) n y f x f x x x 是一个实函数.通过集合的方法（从自变量和因变量的文数）来定义函数，我们可以发现因变量的文数为 1，函数分别就是一元、二元和多元函数.当因变量的文数大于 1时，就可成为向量函数.所以向量值函数是实值函数在文数上的推广.二、向量值函数的极限有很多方法可以定义函数的极限，我们这里采用 - 来定义函数极限.实值函数中，以一元函数和二元函数为例，要求 f 在定义域D 上有定义，A 是定数， 0 P 是一聚点，若对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得 0 U P P D （ ； ） 时，都有( ) f P A .则称 f 在D上当 0 P P 时，以A 为极限，记作 0lim ( )P Pp Df P A .用 - 来定义向量值函数极限如下：定义 2.1 设 f为定义在 nD R 上的向量值函数， 0x是D的一个聚点，a是一常数向量，若对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得 0U D x x （ ； ） 时，都有( ) f x a .则称 f在D上当 0 x x 时，以a为极限，记作 0lim ( )x xx Df x a .我们知道在二元函数中，若累次极限和重极限都存在的情况下，可以通过求累次极限求出重极限.同样地，利用向量值函数的分量表示，向量值函数的极限可以化为数量函数的极限讨论.定 理 1 设 : ,m nD R D R f ， 且 1 2 [ , , ]Tm f f f f ， 1 2 [ , , ]Tm a a a a ， 则0lim ( )x xf x a 的充要条件是