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摘要 《数学分析》是一门重要的基础课程，它在学生学习其他数学课程的过程中发挥了不可或缺的作用．本文主体上采用对定理提出疑问并解答的方式， 构造恰当的反例深入探讨和研究了数学分析中一元函数与多元函数关于极限、连续性、可导、可积、可微等方面的相关问题．本文还针对数列和数项级数中易混淆概念和定理，深入细致地进行了系统的总结研究．在学习中，借助具体的反例能巩固和加深学生对概念的理解，对定理的条件和结论的全面把握，提高学生辨析判断能力，促进新理论的产生．36557
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毕业论文键词 数学分析; 函数; 反例;
定理在数学的学习中，有时不容易用理论来说明命题的成立与否，对于不成立的命题，构造恰当的反例，能有效地帮助我们清楚地进行判断．反例是针对数学命题而言的，反例的构造有助于反驳与纠正错误的数学命题．在数学分析中存在大量的反例，当一个定理或命题的条件减弱或是使用范围变化了，都需要用反例来验证它们的成立于否．反例能帮助人们深入的理解有关数学对象的性质，能推动数学科学发展，也能促进人的辩证思文方式的形成
．1 一元函数中的反例
1.1一元函数极限中的反例定理 1.1.1 设 A x fx x) ( lim 0， B x fx x) ( lim 0． 若在某 ) ( 00x U 内， ) ( ) ( x g x f ，则B A ．问题 1 若在某 ) ( 00x U 内， ) ( ) ( x g x f ，问是否必有 B A ?解 不一定有 B A ．例如 0 ) ( x f ， 2) ( x x g ．在 0 0U 内有 ) ( ) ( x g x f ，但 0 ) ( lim lim 0 0 x g x fx x．问题 2 若 B A ，则在某 ) ( 00x U 内是否有 ) ( ) ( x g x f ?证 有 ) ( ) ( x g x f ．由函数极限的定义，对 02B A ，分别存在正数 1 与 2 ，使得当 1 0 0 x x 时有23) (2B AA x f AB A ，当 2 0 0 x x 时，2) (23 B AB x g BA B ．于是取 2 1, min ，则当 0 0 x x 时，有223) (2) (23 B Ax fB Ax gA B ．即当 ) , ( 00 x U 时，有 ) ( ) ( x g x f ．定理 1.1.2 若 A x fx) ( lim 0，则 A x fx) ( lim 20．问题 1 若 ) ( lim 20x fx存在，试问是否成立 ) ( lim ) ( lim 20 0x f x fx x ?解 不一定成立．例如 . 0 , 1, 0 , 0, 0 , 1) sgn( ) (xxxx x f 则 . 0 , 0, 0 , 1sgn ) (2 2xxx x f1 ) ( lim 20x fx，但 ) ( lim 0x fx不存在．问题 2 若 ) ( lim 30x fx存在，试问是否成立 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x ?证 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x 成立． 设 A x fx) ( lim 30． 则 0 ， 0 1 ， 使得当 1 0 x时， 有 A x f ) (3． 取 031 ， 则当 x 0 时， 130 x ， 从而有 A x f ) ( ，故有 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x ．例 1.1.1[1]在运用洛必达法则求不定式极限时，会遇到下面问题:（1）若 ) () (lim 0 x gx fx x 不存在，能否说明 ) () (lim 0 x gx fx x不存在?（2）能否对任何比式极限都按洛必达法则求解?解 在运用洛必达法则求解时，首先必须注意它是不是不定式极限，其次还要满足洛必达法则的其他条件．下面的例子就能解决上面的疑问．例如 1sinlim xx xx．虽然是 型，但若果不考虑条件就使用洛必达法则，将得出1cos 1lim sinlim xxx xx x ．由右式的极限不存在容易得到原极限不存在的错误结论．1.2一元函数连续性中的反例定理 1.2.1 若 f 在点 0 x 连续，则 f 与 2f 也在点 0 x 连续．问题 1 若 f 或 2f 在I 上连续，那么 f 在I 上是否连续?解 f 在I 上不一定连续． 例如. , 1, , 1) (为无理数为有理数xxx f f 和 2f 在R 上连续， 而 f 在R上不连续．定理 1.2.2 f 在 , a 上连续，且 ) ( lim x fx 存在，则 f 在 , a 上有界．问题 1 f 在 , a 上必有最大值或最小值吗?解 f 在 , a 上不一定有最大值或最小值．例如 xx f1) ( 在 , 1 上连续，0 ) ( lim x fx，但 ) (x f 在 , 1 上无最小值．定理 1.2.3 设I 为有限区间，若 f 在I 上一致连续，则 f 在I 上有界．问题 1 当I 为无限区间时，结论是否成立?解 结论不一定成立．例如 ) , ( , ) ( x x x f ． 0 ，由于x x x f x f ) ( ) ( ，故可选取 ，则对任何 ) , ( , x x ，只要 x x ，就有 ) ( ) ( x f x f ．这就说明 f 在R 上一致连续，但 f 在R 上无界．定理 1.2.4 g f , 在区间I 上一致连续，若I 为有限区间， g f 在I 上一致连续．问题 1 若I 为无限区间，结论是否成立?解 结论不一定成立．例如 x x g x f ) ( ) ( ， , 0 I ． g f , 在区间I 上一致连续．但2) ( ) ( x x g x f 在 , 0 上不一致连续．事实上， I x x , ， x x x x x x 2 2，当 x x 时，只须取 x x ，便有 2 2x x ，不满足一致连续定义．1.3一元函数可导与连续的关系定理 1.3.1 若函数 ) (x f 在点 0 x 可导，则函数 ) (x f 在 0 x 连续．问题 1 若函数在一点连续，函数在该点是否一定可导?解 函数在该点不一定可导．例如 x x f ) ( 在 0 x 连续，但在 0 x 不可导．问题 2 若 ) (x f 在 0 x x 处可导， ) (x f 在 0 x x 处是否有连续导数?解 ) (x f 在 0 x x 处不一定有连续导数．例如 . 0 , 0, 0 ,1sin) (2xxxxx f 在 0 x 处可导但导数不连续．事实上，