-
摘要 凸函数是数学中的一种重要函数，它广泛应用于竞赛数学、泛函分析、最优化理论、数理经济学等领域．由于数学分析教材中对凸函数的介绍较为零碎，为使大家对凸函数有一个较全面的了解，本文将对凸函数的概念及其性质作详细介绍，并重点讲解其在证明不等式中的应用．以外，我们还将对凸函数做一个更深入的拓展，将我们所学的一元凸函数拓展到多元凸函数、平方凸函数、几何凸函数和调和凸函数等，并给出与之相应的定义及部分判定定理． 关键词 凸函数；性质；判定定理；不等式应用 在华东师范大学的数学分析教材中，我们介绍了函数的单调性与极值，这对函数性状的了解起到了很大的作用．为了更深入和精确地掌握函数的性状，我们将引入函数的凸性概念，即凸函数． 凸函数的基础是由Jenson于1906年左右建立的． 36555
- 上一篇：托勒密定理的应用及推广
- 下一篇：数学分析中的反例
下面，我们将详细讲解凸函数性质和应用． 首先我们来给出凸函数的几个基本概念．
1 凸函数的基本定义[1] 定义1.1 设�是区间�上的函数，若对�上任意两点�1，�2和任意实数λ ∈ (0,1)总有 �(λ�1 + (1 − λ)�2) ≤ λ�(�1) + (1 − λ)�(�2)， (1) 则称�为�上的凸函数，反之，若有 �(λ�1 + (1 − λ)�2) ≥ λ�(�1) + (1 − λ)�(�2)， (2) 则称�为�上的凹函数． 如果(1)中 “≤”改为“<” ，则相应的函数称为严格凸函数（同理可定义严格凹函数） ．由于凸函数与凹函数是对偶的概念，故有相对应的结论．今后，我们一般将只对凸函数进行讨论． 几何意义 设�1 < �2，因为λ ∈ (0,1)，所以 � ≜ λ�1 + (1 − �)�2 < λ�2 + (1 − �)�2 = �2， � ≜ λ�1 + (1 − �)�2 > λ�1 + (1 − �)�1 = �1． 故� ∈ (�1，�2)，且当λ从 0连续变化到1时，�也从�2连续变化到�1．我们连接曲线� =�(�)，(� ∈ �)上两点 � .�1，�(�1)/ ， � .�2，�(�2)/ . 作弦AB，则AB的方程为 � − �(�2)�(�1) − �(�2)=� − �2�1 − �2 . 若将上式比值记为λ，则得弦AB的参数方程为： { � = ��(�1) + (1 − �)�(�2)，� = ��1 + (1 − �)�2 . 这表明，在点� = ��1 + (1 − �)�2处， 弦AB的高度为� = ��(�1) + (1 − �)�(�2).可见，不等式(1)说明在(�1，�2)内每点�处，曲线� = �(�)的高度不超过弦AB的高度．也就是说，曲线在弦AB以下，对曲线上任意两点A, B都是如此．因此，凸函数意着函数图形向下凸，故又称之为下凸函数，而凹函数又称之为上凸函数． 论文网除此定义之外，还有其他形式的定义．