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摘 要：本文首先利用稳定电流场的基本性质，导出拉普拉斯方程.因为拉普拉斯方程描述的是稳态方程，所以不用说初始条件.论文接下来讨论的就是在定解问题中，只有边界条件时，求解方程的边值问题的方法.在解决此类方程时，文中运用了分离变量法、Fourier变换法、Green函数法以及保角变换解法.基于问题的解决，并讨论了拉普拉斯方程在电流场领域的应用.37644
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毕业论文关键词：拉普拉斯方程；分离变量法；Fourier变换；格林函数；保角变换
Laplace equation and the exploration of its Solutions
Abstract：Firstly, I use the basic properties of the Laplace equation in steady current field and electric field in this paper, Laplace equation has being derived. Because of the Laplace equation describes the steady state equations, we don’t mention the equation’s initial condition. Next, we discuss the way of resolving these questions of the equation, only when the final condition in the fixed solution question. When resolving the questions like this, I mainly use the means of variable separation, Fourier transformation, Green function and the conformal transformation. Based on resoluving this questions, I also discuss the application of Laplace equation in the current field.
Keywords: Laplace equation; variables separation; Fourier transformation; Green function; the conformal transformation
目 录
摘要 1
引言 2
1 预备知识 3
1.1拉普拉斯方程 3
1.2拉普拉斯方程的边界条件 3
1.3拉普拉斯方程的边值问题 4
2 拉普拉斯方程的导出 4
3 拉普拉斯方程的求解 5
3.1分离变量法 5
3.2傅里叶变换法 9
3.3格林函数法 10
3.4保角变换法 11
4 拉普拉斯方程的简单应用 13
结束语 14
参考文献 15
致谢 16
拉普拉斯方程及其解的探讨
引言拉普拉斯方程是一种典型的偏微分方程，在力学、电磁学、天文学、热学等方面都有应用.拉普拉斯方程的广泛应用，使得拉普拉斯方程在定解问题中占了重要的位置.在众多求解Laplace方程的问题中，分离变量法使用的最多.但当遇到全空间的问题时，就需要用到傅里叶变换方法，把解写成傅里叶积分的形式.本文又介绍了一种格林函数的新方法，该方法通过点源函数来找到问题的解决方案.在边值问题中，如果拉普拉斯方程的边界条件很复杂，那我们就用保角变换的方法对拉普拉斯方程进行降文处理，这样就很容易能求出定解问题的解.
在数学物理方程中，拉普拉斯方程内容十分丰富，很多文献都对拉普拉斯方程以及它的求解做了详细的概述.文献[1]主要介绍了拉普拉斯方程的基本概念和意义，又介绍了求解拉普拉斯方程的各种方法和技巧，着重以定解问题为例展开讨论.文献[2]重点介绍了分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法等求解方法的基本理论和一般步骤.文献[3]介绍了保角变换法的具体步骤，也以位势方程为例介绍了格林函数的方法.文献[4]-[13]中给出了Laplace方程各种解题方法的步骤和应用例题.
本文先通过稳定电流场的基本性质，推导出拉普拉斯方程，在不同坐标系中引入了拉普拉斯方程的表达式.然后介绍了方程的定解条件，边值问题的意义以及用来解决此问题的各种方法.在前人研究的基础上，对Laplace方程的求解方法进行系统性的总结.在介绍求解拉普拉斯方程的方法时，不同的方法有不同的优点，文中根据问题的实际情况选用合适的方法求解，有助于以后遇到此类问题时，能有效率的解决问题.