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摘 要：由于复变函数研究的主要内容是解析函数，因此解析函数的应用非常广泛，无论是在理论还是在实际运用中．本文在给出解析函数的基本概念及其柯西-黎曼方程，柯西积分的基础上将重点介绍解析函数的几个完美性质，如无穷可微性、唯一性以及在无穷远点的性质等．第一章引入解析函数的基本概念及其定理，第二章主要运用柯西（cauchy）提出的积分表示方法来介绍解析函数的几个完美性质．37645
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毕业论文关键词：解析函数；柯西-黎曼方程; 柯西积分
Several Properties of Analytic Function
Abstract: Analytic function as the main content of complex variable function, has widely used in the theory and the practical application. Based on the basic concepts of analytic function is given and its derivation of complex function and the Cauchy integral will focus on the basis of the analytic function of a few perfect properties, Such as endless differentiability, uniqueness, and infinity in nature,etc. The first chapter introduces the basic concepts and theorems of analytic functions, the second chapter mainly uses integral representation with cauchy to introduce some perfect properties of a set of analytic function.
Key words: Analytic Function; Cauchy - Riemann equation ; Tntegral calculus
目 录
摘要 1
引言 2
1.解析函数 3
1.1解析函数的基本概念 3
1.2 Cauchy-Riemann方程 4
1.3柯西积分定理和柯西积分公式 6
2.解析函数的完美性质 8
2.1解析函数的无穷可微性 8
2.2解析函数的零点孤立性及唯一性定理 9
2.3平均值公式及最大模原理 13
2.4解析函数在无穷远点的性质 15
3.结束语 17
参考文献 18
致谢 19
解析函数的几个性质引言
20世纪以来，复变函数论的研究一直都是各国科学家研究的重点，原因之一就是复变函数不管是在理论还是实际问题中的的应用都非常广泛，并且数学中的其他分支与复变函数的联系也越来越密切.它已经深入到了微分方程、积分方程、概率论和数论等学科.并且开辟了一些新的分支，例如值分布论、亚纯函数的奇异方向、整函数和亚纯函数理论、多复变函数论等.除此以外，复变函数在抽象空间的所有理论中也经常为我们提供一些新的思路.
我们知道以自变量为复数的函数就是复变函数.而复数函数论作为分析学中的一个分支，将是我们研究的主要方向.解析函数在某种意义下是可导的复变函数，又是一类具备某些特征的可微函数.因此复变函数论研究的主要内容就是解析函数，而解析函数的研究之所以如此重要，就是因为它具有的一些完美性质，比如无穷可微性，唯一性及其在无穷远点的性质等，并且数学分析中的工具差不多都可以运用到解析函数中.另外解析函数的零点，奇异性质，边界值问题和最大模，最小模问题等是复变函数论研究的主要方向和重要内容.
本文是在前人工作的基础上通过搜集资料和思考整理来完成解析函数的一些完美性质的讲解.尽管复变函数的导数定义无论是在表达方式上与实的定义完全一致，还是对于微商的基本法则也和实函数的情况相同，但不可否认的是解析函数与可导函数还是有着深刻的差异的.解析函数与可导函数有本质的区别在于，它不仅在这一点可导，而且在该点的邻域内处处可导，例如我们所知道的解析函数具有无穷可微性,唯一性等性质，然而对于可导函数而言这些却是无法做到的，也正是由于这些特殊的性质才形成了今天我们所学习的复变函数论.因此解析函数的几个性质在复变函数论的研究中具有很重要的意义.而在此文中我们研究的主要内容是解析函数的无穷可微性，唯一性定理，最大模原理和解析函数在无穷远点的性质等，同时引进合适的例子加以解释说明.