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1.解析函数
在复变函数论中，我们研究的对象的不单单只是在某些点可导的函数，而是在这点的邻域 内处处可导的函数，即解析函数．
1.1解析函数的基本概念
定义1.1 若函数 在 和 的某一邻域内处处可导，就称 在 处解析.
定义1.2 若函数 在区域 内均解析，那么称 在 内解析，或称 为 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）．
定义1.3 若 在 处不解析，那么 就称为函数 的奇点．
注（1）函数在某一区域内解析与可导是两个同等的概念.
（2）函数在某点处解析与在该点处可导是两个不同的概念，也就是说在某一点处可导的函数不一定在这点处解析；但函数在 点解析，一定在 点可导．
（3）解析和可导之间的联系：在一点处的可导性是一个局部概念，但它的解析性却是一个整体的概念．
因为复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在表达方式上完全一样，并且极限的运算法则也相通，因此实函数中的求导法则我们可以类推到复变函数中去.现简列如下：
（1） ,其中 为常数.
（2） ，其中 为正整数.
（7） , 与 是互为反函数且单值函数， .
显然，这些法则成立的前提是所有式子右侧出现的微商都存在.那么可得到如下定理：
定理1.1 在区域 内的解析函数的和、差、商、积（使分母不为0的点）在 内同样也是解析的.
定理1.2 设函数 在 平面上的区域 内解析， 在 平面上的区域 内解析，如果对 内的每一个点 ，函数 的对应值都属于 ，那么复
合函数 在 内解析.
定理1.3 任意有理分式函数 在某一点（分母不为0）的区域 内是解析函数，同时满足分母为0的点是此函数的奇点.
例1.1 讨论函数 的解析性.
解 在复平面上除点 之外均可导，且 ，因此在除点 之外的复平面内，此函数均解析，故 是它的奇点.
1.2 Cauchy-Riemann方程
若函数 在点 处可导，则在点 必有
. （1.1）
式（1.1）我们就称之为柯西—黎曼方程（即C-R.方程）.由此我们就会发现，可导的复变函数 的实部 和虚部 并不是随意拼接而成的，它们之间的联系非常密切.所以我们可以由这个命题的逆否命题来判定函数的不可导性，即如果 在 处不满足式(1.1)（C.-R.方程），则 在 不可导.
下面我们将从柯西-黎曼出发来接着研究解析函数.首先我们要介绍的是解析函数的两个等价性质.
定理1.4 设函数 在区域 内有意义，那么 在 内一点 处可导的充分必要条件是：
（1） 与 在点 可微；
（2）在该点满足柯西-黎曼方程（C.-R.方程): .
定理1.5 函数 在定义域 内解析的充要条件是函数 ， 在 内可微并且满足C.-R.方程.(这是判别函数在区域内是否解析的常用方法)
由此我们可知断定函数 在 内是不是解析，只要判别以下两点：
（1） ， 在 内偏导数连续；
（2）满足 C.-R.方程： .
如果函数 在 内不满足C.-R.方程，则 在 内不解析.
例1.2 判断下列函数的可导性与解析性：