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（1） ； （2） ； （3） .
解 (1) ,
且
， .
C.-R.方程在全体复平面内均不成立，即 在整个复平面内处处不可导，既而不解析.
(2) ，
, 偏导数连续，
且
， ， ， .
由此可知上述四个偏导数不仅连续而且满足C.-R.方程，所以 在复平面内均可导且解析，有 .
(3) ,因为 偏导数连续，
， .
所以函数只是在 处可导，但在复平面内均不解析.
1.3柯西积分定理和柯西积分公式
柯西积分定理和柯西公式是研究复变函数积分的钥匙，同时也是研究解析函数的重要工具，例如第二部分我们将要介绍的解析函数的无穷可微性和平均值定理都是在此基础上成立的.
定理1.6 (柯西积分定理） 若函数 在 平面上的单连通区域 内解析， 为 内任意一条周线，那么就有
定理1.7 若函数 在 平面上的单连通区域 内解析， 是 内任意一条闭曲线(不一定是简单的)，那么就有
.
定理1.8 函数 在区域 解析的充要条件为：
（1） 在区域 内连续；
（2）对任一周线 ，只要 及其内部全含于 内，就有
此定理一般不用它来判断复变函数 是不是在某个区域内解析，最多的用来计算或证明和复变函数积分有关的问题.
例1.3 复变函数积分 ， 为正向圆周 .
解 由复积分的运算性质可知
= ,
其中
（1.2）
（1.3）
上述（1.3）式成立的原因是因为函数 在除 点的复平面上处处解析，也就是在曲线 及其内部解析，那么根据柯西积分定理即可得到结果.所以有 .
由此可知，根据解析函数的柯西积分定理求积分是复变函数积分计算的主要方法之一.因为一些复变函数积分若用基本方法求值会十分繁琐，甚至无法计算出结果.