3.三角换元法(也称参数方程法)
该换元方法在高中以及大学的数学学习中都极其重要,主要是通过用三角函数代替原来的变量从而达到简化题目的作用.应用三角换元是由于其具有三角函数的特殊性质:
; .例4 已知: ,求 值域. 解 原式为 ;令 ,则 ,有 ,化简得 .
该题实际是个圆锥曲线方程类的题目,本身这类题目在求解上就比一般的题目难度稍大,换元之后将 这两个变量转化为一个变量 ,相对简单,所以换元法在解决此类题目中有着至关重要的作用.
4.常数换元法
就是用变量代替题目中的已知的部分数值,利用这种方法求解往往可以大大减少计算量,巧妙获解.
例5 求 .
解 令 ,则原式 .
再带入具体数值即可.
显而易见,在用变量进行替换后,转化为一般的做法反而比已知数值计算更为简便.
5.倒数换元法
如果正面计算难度较大,可以对含有倒数的部分进行换元简化计算过程.
例6 求 ; 参考文献[1]
解 显然 ,故方程两边可同时除以 ,经化简得 ,令 ,则 ,原式为 ,解之得 ,
当 时,此时 无解;
当 时,此时 .
这里主要介绍了这五种常用的换元方法,当然还有很多换元方法没有一一列举,有兴趣的读者可以自行整理研究.
三、换元法的具体应用
因为换元法它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理为有理、化超越式为代数式,所以在研究三角函数、不等式、圆锥曲线、数列等问题中有普遍的应用.
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