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摘 要：本文给出了矩阵之和的特征值与奇异值同原矩阵的特征值与奇异值之间的大小关系，以及矩阵之和的特征值与奇异值的求法.首先通过矩阵之和特征值及奇异值的定义，给出了矩阵之和存在特征值和奇异值的条件；其次给出矩阵之和特征值与奇异值的性质，即是其与原矩阵特征值与奇异值之间的不等式关系；再次给出了矩阵之和特征值的求法，及奇异值的求法.38158
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毕业论文关键词： 特征值; 特征向量; 奇异值; 矩阵之和
Eigenvalue and Singular Value from the Sum of Matrices
Abstract: In this article, through understanding of eigenvalue and singular value, I give the conclusion that the relationship between the eigenvalue and singular value from the sum of matrices and original’s, and how to calculate the eigenvalue and singular value from the sum of matrices. First of all, through the definition of the eigenvalue and singular value from the sum of matrices, I give the existence conditions of the eigenvalue and singular value from the sum of matrices. Secondly, on the basis of others research, I give the nature of eigenvalue and singular value from the sum of matrices which is the inequality relation of between the eigenvalue and singular value from the sum of matrices and original’s. The last, I give the solution method of the eigenvalue and singular value from the sum of matrices.
Key Words: Eigenvalue; Eigenvectors; Singular value; the sum of matrices
目 录
摘要..1
引言..2
1基础知识3
2矩阵之和的特征值与奇异值的性质..4
2.1相关引理，定理.4
2.2矩阵之和的特征值性质.5
2.3矩阵之和的奇异值性质11
3矩阵之和的特征值和奇异值求法13
3.1矩阵之和的特征值的求法.13
3.2矩阵之和的奇异值的求法.16
4结束语.18
参考文献19
致谢.20
矩阵之和的特征值和奇异值
引言
矩阵是高等代数中的一项重要内容，它在许多领域的研究中有着很重要的意义，现实生活中，矩阵的应用已经发展到很多方面，比如：矩阵的加法在产品增量中的应用、矩阵乘法在产品利润中的应用、逆矩阵在密码问题中的应用等等，而分析特征值和奇异值的问题是讨论矩阵问题的一个重要方面，它不仅在代数领域有很重要的应用，在其他很多学科技术比如在概率统计、随机过程、振动、机械压力、电子系统、量子力学、化学反应、遗传学、经济学等领域中也起着重要的作用，所以研究矩阵之和特征值和奇异值有很重要的作用.
目前，很多学者对矩阵特征值做出了很多研究并得到了重要的结论，如：文献[3]给出了矩阵特征值的一些简单求法，文献[6]比较完整的总结出了矩阵特征值的性质及抽象矩阵的特征值解法，尤其是文献[12]中的W-H定理，它充分说明了矩阵之差的特征值与原矩阵特征值之间的不等式关系.
本文通过对W-H定理的学习与分析，根据一些矩阵特征值、奇异值的相关概念，改进了一些现有结果，对矩阵之和的特征值和奇异值的特点做出了进一步的总结，探究了矩阵之和特征值与原矩阵特征值的大小关系，且推广到矩阵之和的奇异值与原矩阵奇异值的不等式关系，并归纳了一般矩阵、特殊矩阵等的特征值与奇异值的解法步骤，使矩阵之和的特征值和奇异值方面的知识更加全面化、系统化.
在实际的矩阵特征值计算问题中，往往都是大规模数据的计算与统计，而本文总结与发现的矩阵之和的特征值与奇异值求解方法仅适用于小规模数据求解，对于大量数值计算还需要作进一步研究.
1 基础知识
定义 1.1 设 是数域P上的一个 阶方阵，如果存在数 和数域P上的 文非零列向量 ，使得 ，则称 为 的特征值， 为 的对应特征值 的特征向量.称 为 的特征多项式，这是数域P上的一个 次多项式；称 =0为 的特征方程.