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    摘  要：本文首先主要利用微分方程的稳定性定理并对传统的SIS，SIR和SIRS模型进行分析和比较，进而对登革热传染病进行建模分析，通过定义基本再生数 和构造Lyapunov函数讨论模型的稳定性，从而确定登革热传染病的可控性，最后给出相应的策略使之达到防控传染病的目的。38897
    毕业论文关键词：稳定性定理；模型；防控措施
    Research on Prevention and Control of Dengue Fever Based on the Theory of the Differential Equation
    Abstract: The paper studies the prevention and control of Dengue Fever based on the theory of differential equations. Firstly, it analyzes and compares the traditional SIR, SIRS models. Then the Dengue Fever model is built. The stability of the model is discussed through defining the basic reproductive number and constructing the Lyapunov function. Finally, some corresponding strategies are given to achieve the purpose of prevention and control of infectious disease.
    Key words: The stability theorem; Model; Prevention and control measures
    目    录

    摘  要    1
    引言    2
    1. 微分方程的基本理论    3
    2. 常见的几类传染病模型    4
    2.1 SIR模型    4
    2.2 SIS模型    7
    3. 登革热传染病模型    8
    3.1 模型的建立    8
    3.2 平衡点的存在性    …9
    3.3 平衡点的稳定性    9
    3.4 防控策略    12
    4. 结束语    13
    参考文献    …14
    致谢    15
    基于微分方程理论研究登革热传染病的流行与防控
    引言
    登革热传染病是登革病毒经蚊媒传播引起的急性虫媒传染病，是东南亚地区儿童死亡的主要原因之一，相比于疟疾和丝虫病等蚊媒传播的传染病中登革热属于传播速率和流行速率最高的传染病[1]。蚊虫是登革热传染病的主要传播媒介，其病毒传染易感人群没有年龄性别限制，但以青壮年发病者居多。所以研究登革热传染病是一件意义重大的事情。
    对传染病的建模与定量研究已经有多年的历史。国际上1976年D.Bernoulli对天花病毒的传播建立了一个常微分模型对天花病毒的传播作出推测。1911年Ross博士通过建立微分方程，详细分析了疟疾的传播。1926年由于黑死病的蔓延，Kermack与McKendrick行构造了著名的SIR模型，后来又提出了SIS模型，并对模型进行了分析，提出了“阈值理论”为传染病动力学的研究奠定了基础。至此以后，传染病动力学的建模与研究开始迅速发展，通过建模分析传染病的各种特性及传播。国内近几年有关传染病的研究也有较为突出的贡献[2-6]。
    本文的第一部分主要介绍了微分方程的基本理论，简单说明了稳定性理论，为建模提供基本的数学基础。第二部分主要介绍了传染病的仓室模型，涉及SIR，SIS等基本模型，为登革热传染病的数学建模提供对比性模型。第三部分则根据基础传染病模型并参照前人文献中提供的思路和方法[7-9]，进行登革热传染病的建模并对模型进行稳定性分析，最后提出相应防控措施。
    1.微分方程的基本理论   
    微分方程是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。两个及两个以上系式表示的微分方程称为微分方程组。如果方程组右端不含自变量
     ，                    (1-1)
    则称为驻定（自治）的。
    对驻定微分方程组(1-1)，方程组 的解满足微分方程组，称该解为平衡解，又称为奇点。
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