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即整理后可得 .
定理1[2] 设函数 在开区间 可导，函数 在区间 是凸函数当且仅当 ，且 ， .
定理2[3] 设 在开区间 上可导，则下述论断相互等价：
1） 为 上的凸函数；
2） 为 上的增函数；
3）对 上的任意两点 ，有
.
定理3 如果函数 在 上有存在二阶导函数 ，
1）若对 ，有 ，则函数 在 上是一个凸函数；
2）若对 ，有 ，则函数 在 上是一个凹函数.
定理4 （极值的第二充分条件）设 在点 的某邻域 内一阶可导在 处二阶可导，且 ， .
1）若 ，则 在 取得极大值；
2）若 ，则 在 取得极小值.
2. 函数凸性在经济学中的应用
2.1 凸函数在经济函数曲线分析中的应用
2.1.1 无差异曲线的凸性分析
无差异曲线[4]用来表示消费者偏好相同的两种商品的不同数量的各种组合. 如图1所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量 和商品2的数量 ，曲线 、 分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.
曲 线是连续的，并在 轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数.
从图1可以清晰地看出，无差异曲线的斜率为负值，而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的. 可以用商品的边际替代率[5]具有递减的规律来说明商品的无差异曲线的特征. 商品1对商品2的边际替代率的定义公式为
式中 和 分别表示为商品1和商品2的变化量. 当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式[6]为
从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值.