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摘 要：本文着重讨论了数值微分的四种基本解法，及其相关应用，即利用差商来求解数值微分，利用插值型函数来求解数值微分，利用样条插值函数来求解数值微分，和利用数值积分来求解数值微分.以及这四种基本解法的应用.40691
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毕业论文关键词：数值微分方法；差商；插值型函数；样条插值函数；数值积分
Numerical Differential Method and Application
Abstract: This paper mainly discusses the four basic methods for numerical differentiation, and its related applications, using difference numerical differentiation, using interpolation function to solve numerical differential, spline interpolation function is used to solve the numerical differentiation, and numerical integration using numerical differentiation.
Key words: Numerical differential method; Difference quotient; Interpolation function; Spline function; Numerical integration
目 录
摘 要 1
引言 2
1.数值微分的简介 3
2.四种常见的的数值微分方法 3
2.1差商法 3
2.2 利用插值型函数来求解数值微分 4
2.3利用样条插值函数来求解数值微分 7
2.4利用数值积分来求解数值微分 8
3.几种数值微分方法的应用 9
3.1 差商法的应用 9
3.2差值型函数的应用 10
3.3数值积分法的应用 11
4.总结 11
参考文献 12
致谢 13
数值微分方法及应用引言
数值微分方法是利用函数在某些离散点的函数值，推导出它在某点的导数或者高阶导数的近似值的方法.经常以差商替代微商，或以一个可以近似替代该函数的比较容易的可微函数的相应导数当做可求导数的近似值.比如日常中经常用到的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)是在等距步长情况下用插值多项式的导数当作近似值的.另外，还能够运用待定系数法求出各阶导数的数值微分公式，此外能以外推技术来提升所求近似值的精确度.函数可微性不是很好的时候，运用样条插值进行数值微分比多项式插值更加适合.假如离散点上的数据存在不可忽略的随机误差，则应先以曲线拟合替代函数插值，再以拟合曲线的导数当作所求导数的近似值，如此方法能够形成减少随机误差的效果.并且数值微分公式还是微分方程数值解法的非常有价值的根据.
目前已有大量文献对数值微分方法及应用进行了探究，在很多实际应用中，经常需要求函数在某点的导数.寻求简单有效的求导方法是非常重要的.本文主要分为四大部分，第一部分是数值微分的简介，第二部分是数值微分的四种常见的解法，即利用差商来求解数值微分，利用插值型函数来求解数值微分，利用样条插值函数来求解数值微分，和利用数值积分来求解数值微分，第三部分主要介绍了相关应用，第四部分是本文的一个总结。
1.数值微分的简介
数值微分(numerical differentiation)是依据函数在某些离散点的函数值，推导出它在某点的导数或者高阶导数的近似值的方法.平时常用差商替代微商，或是找一个可以近似替代该函数的较为简单的可微函数的相对应的导数当作可求导数的近似值.比如经常运用的数值微分公式(例如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情况下运用插值多项式的导数当作近似值的.另外，还能够运用待定系数法各阶构造成导数的数值微分公式，而且可以利用外推技术来提升所求近似值的精确度.在函数的可微性不是非常好的时候，运用样条插值进行数值微分会比多项式插值更加合适.若离散点上的数据包含不能够忽略的随机误差，则应用曲线拟合替代函数插值，再把拟合曲线的导数当作所求导数的近似值，这样能够起到减少随机误差的效果.并且数值微分公式还是微分方程数值解法的非常重要的根据.