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摘 要：本文首先介绍了Lie代数与可积耦合的基本理论，引进一个新的Lie代数，并给出其基本性质，在学习 族， 族方程的方法基础上，利用 格式引进一个新的谱问题构造一个新的孤子方程族.其次利用可积耦合的基本理论，构造了这个新孤子方程族的非线性可积耦合．最后求出了新孤子方程族非线性可积耦合的 结构．本文的方法还可以应用于其它的孤子方程族的非线性可积耦合．40692
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毕业论文关键词：Lie代数；零曲率方程；非线性可积耦合； 结构
A New Lie algebra and its applications
Abstract: Firstly, this paper introduces the definition of algbra and a new Lie algbra, then introduction of a new Lie algbra and its fundamental property，based on the learning of the TB hierarchy、KN hierarchy，using the Tu format introduces a new appropriate spectrum problem to construct a new soliton hierarchy of equations. Secondly, using the theory of the integrable coupling to construct a new coupled nonlinear integrable soliton equations．Finally，the Hamiltonian structure of the new coupled nonlinear integrable soliton equations is obtained．This method can also be applied to construct nonlinear integrable equations of other solitons hierarchy.
Key words：Lie algebra；Zero curvature equation；Nonlinear integrable coupling; Hamiltonian structure
目 录
摘 要. 1
引言 2
1．关于Lie代数和可积耦合的基本理论 3
1.1 Lie代数简介 3
1.2可积耦合 3
2．一个新的Lie代数及其运算性质 4
3．新Lie代数的应用 5
3.1利用Lie代数构造一个新的方程族 5
3.2利用新Lie代数构造新方程族的非线性可积耦合 9
3.3新方程族非线性可积耦合的Hamilton结构 12
4．结束语 15
参考文献 16
致谢 17
一个新的Lie代数及其应用 引言
随着孤子理论的发展，人们对寻找新的可积系及其可积耦和的研究越来越重视．近年来，很多学者利用了不同方法获得了许多很具有研究意义的可积方程族，也通过驻定零曲率方程得到了可积的方程族．1989年屠规彰先生在如何获得可积 方程族的问题上又提出了一种比较适用的新方法，也就是 格式．而根据具体情况构造等谱问题是利用 格式的关键之处.在这里如果能够构造出一个新的 ，再构造出新的可积 方程族就是很有可能的．
近年来，利用 代数构造新的方程族的可积耦合 的方法已被较为广泛的使用，并且常用它来构造KN族的可积耦合．通过了解我们可知道可积耦合是通过一个新的 代数构造恰当的等谱问题产生的，这也就是获得新可积系统的一个重要方法．因此，我们才要努力去探究和发现更多其他的可积系统及其 结构 ．
本论文通过查阅众多相关文献资料，并在指导老师的教导下完成本篇论文，例KDV族的可积耦合及 结构的求法 ，屠规彰教授的变分恒等式求解可积耦合的 结构的计算方法 ．
论文内容大体上包含以下两大方面：
(1)是先引进一个新的 代数，通过研究了解关于新 代数的基本理论和运算性质，由 代数构造新的谱问题，再根据零曲率方程的运算得到一个新的孤子方程族；
(2)是引进 代数最简单的 ，并由这个新 代数构造上述方程族的非线性可积耦合，并通过了解变分恒等式的定理，然后使用变分恒等式来讨论孤子族非线性可积耦合的 结构．
1.关于Lie代数和可积耦合的基本理论