新映射下的一个变换数列

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摘要本文构造了一个新的映射，给出了自然数在这个映射下的所有黑洞。即证明了：对于所有自然数，映射有且仅有4个黑洞，分别为，，，。即对任何非零自然数，总存在，使得当时，总有 . 其中。46968

This paper structured a new mapping S, and proves that there are only 4 black holes under mapping S for natural numbers. That means for every nonzero natural number , there is an such that , whenever .

毕业论文关键词：新映射；变换数列；黑洞数

Keywords: a new mapping； a new sequence； black hole numbers

1、引言 4

2、定义 6

2.1、S的定义 6

2.2、S下的黑洞定义 6

3、性质的探讨 7

4、定理的提出与证明 7

4.1、定理的陈述 7

4.2、定理的证明 8

参考文献与致谢 14

1、引言

美国宾夕法尼亚大学数学教授米歇尔·埃克先生对黑洞数的现象作过这样的描述：“取任意一个四位自然数数（除去4位数均为同一个数字的数），将组成该数的4个数字进行重新组合，得到一个最大数和一个最小数，将两者作差；对此差值重复上述步骤……最后总是到达Kaprekar黑洞，即6174。”为了方便起见，人们把“将某一自然数所有位上的数字按大小重组，得到一个最大数和一个最小数，获得它们的差值；对这个差值继续进行上一步操作，直至进入黑洞中”称为K变换。其中“黑洞”释义如下：

对任意一个自然数，进行变换：将组成的所有数字进行重新排列，得到最大数和最小数，得到一个差值，记作，继续进行上一操作，得到一数记作，继续可以得到，，……。如果有满足，则称为下的一个黑洞，其长度为，记作，每个称为黑洞数。

举一常见的例子进行说明，考虑自然数654，对其进行K变换，有；；。；；在这一例中，黑洞数为495，亦被称为K常数。黑洞为495。

黑洞数是一个可以衍生出很多有趣现象的数学问题，自该问题提出以来，人们先后研究了Kaprekar 变换问题[1-2]，自然数的数码k次方和问题[3]，自然数的数码和问题[4]，黑洞数问题的图论表示[5]等等。2012年，文献[6]提出了一个新的变换数列，研究了这个变换数列的黑洞数问题。

以上所有参考文献，均给本人带来了许多启发，本人主要重点研读了以下三篇参考文献，《5位数K变换的一般结论中》[8]，外文文献《Investigations into the Kaprekar Process》[7]，《一个新的变换数列及其黑洞数问题研究》[6]

在文献[8]中，首先阐明在已经公开的两位数、三位数、四位数的K变换结果，但是均没有给出K变换黑洞的方法，在该文献中用初等代数的方法，先利用K变换的定义求出三位数、四位数的卡尔普雷卡黑洞，接着证明了两位数和五位数的K变换黑洞不存在，同时给出了五位数变换的一般结论，即五位及五位以上的数的K变换黑洞不存在这一结论是不准确的。该文指出631764,549945都是六位数的K变换黑洞，554999445是9位数的K变换黑洞，所以对六位以上的数的K变换结果还需要进一步的讨论。这是一篇对K变换讨论的比较浅显的亦没有采用计算机程序的方法和统计分析的方法。

在文献[7]中，首先作者指出了卡尔普雷卡已经给出了K变换适用于所有四位自然数的定理的证明（其中不包括1111及其倍数）。然后说明了该文的目的是将K变换应用于任意位数的自然数会产生什么现象。该文首先用统计分析的方法研究了五位自然数的K变换得到结论，所有五位自然数都会落入以下三个循环之一中，分别是{53955，59994}，{71973,83952,74943,62964}，{75933,63954,61974,82962}，所有五位自然数都会在6步以内进入上述循环之一。并且任一的五位自然数会从上述任一循环中的任一一个数中进入循环。该文作者表示没有发现如何预测或者判断一个数字是从某循环的哪里开始进入的，也不知道一个数字要经过多少次变换才能进入循环中，但是通过统计分析的方法发现3%的五位自然数会进入第一个循环，48%的会进入第二个循环了，49%的会进入第三个循环。然后进一步的调查和研究了四位自然数应用K变换的步骤，接着给出了K变换应用到所有自然数的总和结论。在研究了其他位数的自然数后发现，一些数字将终止变换而其他的数字则将进入所谓的循环。也就是说对于某些位数的数字（如三位数和四位数），这些数字将会收敛到一个固定的数字，而另外一些位数的自然数（如五位数和七位数），这些数字永远不会终止，也就是说它们会进入一个循环中。并且找出了哪些数字是不会进入循环的。最后在研究过程当中发现了有趣的回文序列，该文又对回文序列进行了研究。在该文献中，采用了“简单粗暴”的每一个数字通过计算机或者人工的方法对其一一施行K变换，最终得到所列的部分结论，并且讨论了有趣的回文序列。