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1.1 Lie代数简介
定义1.1.1 设g是数域K上定义的有乘法的线性空间，对任意
满足
（i）分配律
(1)
（ii）数乘交换律
(2)
则g称为代数．线性空间的文数称为代数的文数.
定义1.1.2 李代数g是数域K上的代数，如果它的乘法满足
（i）双线性
(3)
（ii）反对易性
(4)
（iii） 恒等式
(5)
那么称g为Lie代数，其中符号 表示g的乘法， Lie代数的乘法也成为李积，反对易性有时也可转换成幂零性 它们都是等价的．Lie代数的文数即是线性空间g的文数．如对于任意的 ，李积满足 ，则称g是 Lie代数或交换Lie代数．
1.2可积耦合
可积耦合是孤子理论一个新的研究方向，我们正是通过这个简单有效的方法从而获得新的可积系统．